2024 AMC 12A Problema 15

Question

Las raíces de

x^3+2x^2-x+3

son

p

,

q

, y

r

. Halla el valor de la siguiente expresión:

(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?

The roots of

x^3+2x^2-x+3

are

p

,

q

, and

r

. What is the value of

(p^2+4)(q^2+4)(r^2+4)?

64

75

100

125

144

p^2+4=(p-2i)(p+2i),

así que el producto se relaciona con

P(2i)

y

P(-2i),

donde

P(x)=x^3+2x^2-x+3

p^2+4=(p-2i)(p+2i),

so the product relates to

P(2i)

and

P(-2i),

where

P(x)=x^3+2x^2-x+3

P(2i)

y

P(-2i)

son conjugados complejos; multiplícalos para obtener un número real

P(2i)

and

P(-2i)

are complex conjugates; multiply them to get a real number

Como

P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),

al agrupar

p^2+4=(p-2i)(p+2i)

sobre todas las raíces se obtiene

\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).

Calculamos

P(2i)=-8i-8-2i+3

=-5-10i

y

P(-2i)=8i-8+2i+3

=-5+10i.

Su producto es

(-5)^2+10^2=25+100=125.

Así, D es la respuesta correcta.

Since

P(x)=(x-p)(x-q)(x-r),

grouping

p^2+4=(p-2i)(p+2i)

over all roots gives

\prod(p^2+4)=P(2i)\,P(-2i).

Compute

P(2i)=-8i-8-2i+3

=-5-10i

and

P(-2i)=8i-8+2i+3

=-5+10i.

Their product is

(-5)^2+10^2=25+100=125.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 15 en otros años