2023 AMC 12B Problema 16

Question

En Coinland, hay tres tipos de monedas, con valores

6,

10,

y

15.

¿Cuál es la suma de los dígitos de la máxima cantidad de dinero que es imposible tener?

In Coinland, there are three types of coins, each worth

6,

10,

and

15.

What is the sum of the digits of the maximum amount of money that is impossible to have?

8

10

7

11

9

Respuesta: D

Conceptos:Teorema de Chicken McNugget (Frobenius)

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Enumera qué cantidades se pueden formar con

6,10,15;

busca la mayor que no se puede

List which amounts can be formed from

6,10,15;

look for the largest that cannot

Pista grande:

Una vez que seis cantidades consecutivas son todas alcanzables, agregar más

6

alcanza todo lo que sigue

Once six consecutive amounts are all attainable, adding more

6

’s reaches everything beyond

Solución:

Las cantidades

30,31,32,33,34,35

son todas alcanzables (por ejemplo,

30=6\cdot 5,

31=6+10+15,

32=6\cdot 2+10\cdot 2,

33=6\cdot 3+15,

34=6\cdot 4+10,

35=10+10+15

). Añadir monedas de

6

permite alcanzar entonces toda cantidad mayor. Al revisar las menores,

29

es imposible: sin una moneda de

15

, una suma de monedas de

6

y

10

es par; con una moneda de

15

, los

14

restantes no pueden escribirse como

6a+10b;

dos monedas de

15

ya superan

29.

Por tanto, la mayor cantidad imposible es

29,

cuya suma de dígitos es

2+9=11.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The amounts

30,31,32,33,34,35

are all attainable (for instance

30=6\cdot 5,

31=6+10+15,

32=6\cdot 2+10\cdot 2,

33=6\cdot 3+15,

34=6\cdot 4+10,

35=10+10+15

). Adding

6

’s then reaches every larger amount. Checking below,

29

is impossible: without a

15

-coin a sum of

6

’s and

10

’s is even, while with one

15

-coin the remaining

14

cannot be written as

6a+10b;

two

15

-coins already exceed

29.

So the largest impossible amount is

29,

whose digit sum is

2+9=11.

Thus, the correct answer is D.