Question

En Coinland, hay tres tipos de monedas, con valores $6,$ $10,$ y $15.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de la máxima cantidad de dinero que es imposible tener?

In Coinland, there are three types of coins, each worth $6,$ $10,$ and $15.$ What is the sum of the digits of the maximum amount of money that is impossible to have?

$8$

$10$

$7$

$11$

$9$

Respuesta: D

Conceptos:Teorema de Chicken McNugget (Frobenius)

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Las cantidades $30,31,32,33,34,35$ son todas alcanzables (por ejemplo, $30=6\cdot 5,$ $31=6+10+15,$ $32=6\cdot 2+10\cdot 2,$ $33=6\cdot 3+15,$ $34=6\cdot 4+10,$ $35=10+10+15$ ). Añadir monedas de $6$ permite alcanzar entonces toda cantidad mayor. Al revisar las menores, $29$ es imposible: sin una moneda de $15$ , una suma de monedas de $6$ y $10$ es par; con una moneda de $15$ , los $14$ restantes no pueden escribirse como $6a+10b;$ dos monedas de $15$ ya superan $29.$ Por tanto, la mayor cantidad imposible es $29,$ cuya suma de dígitos es $2+9=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The amounts $30,31,32,33,34,35$ are all attainable (for instance $30=6\cdot 5,$ $31=6+10+15,$ $32=6\cdot 2+10\cdot 2,$ $33=6\cdot 3+15,$ $34=6\cdot 4+10,$ $35=10+10+15$ ). Adding $6$ 's then reaches every larger amount. Checking below, $29$ is impossible: without a $15$ -coin a sum of $6$ 's and $10$ 's is even, while with one $15$ -coin the remaining $14$ cannot be written as $6a+10b;$ two $15$ -coins already exceed $29.$ So the largest impossible amount is $29,$ whose digit sum is $2+9=11.$

Thus, the correct answer is D.

2023 AMC 12B Problema 16

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 16 en otros años