2023 AMC 12A Problema 7

Question

Una pantalla digital muestra la fecha actual como un entero de

8

dígitos que consta de un año de

4

dígitos, seguido de un mes de

2

dígitos, seguido del día del mes de

2

dígitos. Por ejemplo, el Día del Árbol de este año se muestra como

20230428.

¿Para cuántas fechas de

2023

aparecerá cada dígito un número par de veces en la pantalla de

8

dígitos de esa fecha?

A digital display shows the current date as an

8

-digit integer consisting of a

4

-digit year, followed by a

2

-digit month, followed by a

2

-digit date within the month. For example, Arbor Day this year is displayed as

20230428.

For how many dates in

2023

will each digit appear an even number of times in the

8

-digit display for that date?

5

6

7

8

9

Respuesta: E

Conceptos:dígitos paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

El año fijo

2023

ya aporta dos

2

, un

0,

y un

3

The fixed year

2023

already contributes two

2

’s, one

0,

and one

3

Pista grande:

Los cuatro dígitos de mes y día deben hacer que las cantidades de

0

y

3

sean impares, la cantidad de

2

sea par, y cada otro dígito par

The four month-day digits must make the counts of

0

and

3

odd, the count of

2

even, and every other digit even

Solución:

El año aporta los dígitos

2,0,2,3,

así que

2

aparece dos veces mientras que

0

y

3

aparecen una vez cada uno. Para que cada dígito termine con una cantidad par, los cuatro dígitos del mes y el día deben aportar una cantidad impar de

0

, una cantidad impar de

3

, y una cantidad par de cada otro dígito.

Con solo cuatro dígitos disponibles, la cadena de mes y día debe usar exactamente un

0,

un

3,

y un par repetido de algún dígito. Al revisar los meses y días válidos quedan nueve fechas:

01\text{-}13,

01\text{-}31,

02\text{-}23,

03\text{-}11,

03\text{-}22,

10\text{-}13,

10\text{-}31,

11\text{-}03,

y

11\text{-}30.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The year contributes the digits

2,0,2,3,

so

2

appears twice while

0

and

3

each appear once. For every digit to end up with an even count, the four digits of the month and day must supply an odd number of

0

’s, an odd number of

3

’s, and an even number of every other digit.

With only four digits available, the month-day string must use exactly one

0,

one

3,

and a repeated pair of some digit. Checking valid months and days leaves nine dates:

01\text{-}13,

01\text{-}31,

02\text{-}23,

03\text{-}11,

03\text{-}22,

10\text{-}13,

10\text{-}31,

11\text{-}03,

and

11\text{-}30.

Thus, the correct answer is E.