2023 AMC 12A Problema 15

Question

Usain camina para hacer ejercicio zigzagueando a través de un campo rectangular de

100

metros por

30

metros, comenzando en el punto

A

y terminando en el segmento

\overline{BC}.

Quiere aumentar la distancia caminada zigzagueando como se muestra en la figura de abajo (

APQRS

). ¿Qué ángulo

\theta=\angle PAB

=\angle QPC

=\angle RQB=\cdots

producirá una longitud de

120

metros? (No supongas que la trayectoria en zigzag tiene exactamente cuatro segmentos como se muestra; podría haber más o menos.)

Usain is walking for exercise by zigzagging across a

100

-meter by

30

-meter rectangular field, beginning at point

A

and ending on the segment

\overline{BC}.

He wants to increase the distance walked by zigzagging as shown in the figure below (

APQRS

). What angle

\theta=\angle PAB

=\angle QPC

=\angle RQB=\cdots

will produce a length that is

120

meters? (Do not assume the zigzag path has exactly four segments as shown; there could be more or fewer.)

\arccos\tfrac{5}{6}

\arccos\tfrac{4}{5}

\arccos\tfrac{3}{10}

\arcsin\tfrac{4}{5}

\arcsin\tfrac{5}{6}

Respuesta: A

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

La proyección horizontal de cada segmento del zigzag es su longitud multiplicada por

\cos\theta

The horizontal projection of each zigzag segment is its length multiplied by

\cos\theta

Pista grande:

Suma las proyecciones horizontales de todos los segmentos y compara el avance de

100

metros con la trayectoria de

120

metros

Add the horizontal projections of all the segments and compare the

100

-meter progress with the

120

-meter path

Solución:

Cada segmento del zigzag forma un ángulo

\theta

con un lado horizontal del campo. Por tanto, un segmento de longitud

s

avanza

s\cos\theta

metros horizontalmente. Esto también vale para el último segmento, aunque termine antes de cruzar todo el ancho del campo.

Al sumar las proyecciones horizontales de toda la trayectoria de

120

metros, obtenemos

120\cos\theta=100.

Por tanto,

\cos\theta=\dfrac56,

y

\theta=\arccos\dfrac56.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every segment of the zigzag makes angle

\theta

with a horizontal side of the field. Therefore a segment of length

s

advances

s\cos\theta

meters horizontally. This remains true for the last segment even if it ends before crossing the full width of the field.

Adding the horizontal projections over the entire

120

-meter path gives

120\cos\theta=100.

Therefore

\cos\theta=\dfrac56,

so

\theta=\arccos\dfrac56.

Thus, the correct answer is A.