Question

Usain camina para hacer ejercicio zigzagueando a través de un campo rectangular de $100$ metros por $30$ metros, comenzando en el punto $A$ y terminando en el segmento $\overline{BC}.$ Quiere aumentar la distancia caminada zigzagueando como se muestra en la figura de abajo ( $APQRS$ ). ¿Qué ángulo $\theta=\angle PAB$ $=\angle QPC$ $=\angle RQB=\cdots$ producirá una longitud de $120$ metros? (No supongas que la trayectoria en zigzag tiene exactamente cuatro segmentos como se muestra; podría haber más o menos.)

Usain is walking for exercise by zigzagging across a $100$ -meter by $30$ -meter rectangular field, beginning at point $A$ and ending on the segment $\overline{BC}.$ He wants to increase the distance walked by zigzagging as shown in the figure below ( $APQRS$ ). What angle $\theta=\angle PAB$ $=\angle QPC$ $=\angle RQB=\cdots$ will produce a length that is $120$ meters? (Do not assume the zigzag path has exactly four segments as shown; there could be more or fewer.)

$\arccos\tfrac{5}{6}$

$\arccos\tfrac{4}{5}$

$\arccos\tfrac{3}{10}$

$\arcsin\tfrac{4}{5}$

$\arcsin\tfrac{5}{6}$

Respuesta: A

Conceptos:trigonometría triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Cada segmento del zigzag forma un ángulo $\theta$ con un lado horizontal del campo. Por tanto, un segmento de longitud $s$ avanza $s\cos\theta$ metros horizontalmente. Esto también vale para el último segmento, aunque termine antes de cruzar todo el ancho del campo.

Al sumar las proyecciones horizontales de toda la trayectoria de $120$ metros, obtenemos $120\cos\theta=100.$

Por tanto, $\cos\theta=\dfrac56,$ y $\theta=\arccos\dfrac56.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every segment of the zigzag makes angle $\theta$ with a horizontal side of the field. Therefore a segment of length $s$ advances $s\cos\theta$ meters horizontally. This remains true for the last segment even if it ends before crossing the full width of the field.

Adding the horizontal projections over the entire $120$ -meter path gives $120\cos\theta=100.$

Therefore $\cos\theta=\dfrac56,$ so $\theta=\arccos\dfrac56.$

Thus, the correct answer is A.

2023 AMC 12A Problema 15

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

El Problema 15 en otros años