2022 AMC 12A Problema 8

Question

El producto infinito

\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots

es igual a un número real. ¿Cuál es ese número?

The infinite product

\sqrt[3]{10}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{10}}}\cdots

evaluates to a real number. What is that number?

\sqrt{10}

\sqrt[3]{100}

\sqrt[4]{1000}

10

10\sqrt[3]{10}

Escribe cada factor como una potencia de

10

Write every factor as a power of

10

Los exponentes son

\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,

una serie geométrica

The exponents are

\dfrac13,\dfrac19,\dfrac1{27},\ldots,

a geometric series

El

k

-ésimo factor es

10

elevado a la raíz cúbica aplicada

k

veces, es decir

10^{\frac{1}{3^k}}.

El producto es

10

elevado a

\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}

Así que el valor es

10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The

k

th factor is

10

raised to the

k

-fold cube root, namely

10^{\frac{1}{3^k}}.

The product is

10

raised to

\begin{aligned} &\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}} \\ &=\frac12. \end{aligned}

So the value is

10^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10}.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 8 en otros años