2021 AMC 12A Fall Problema 9

Question

Un prisma rectangular recto cuya área de superficie y volumen son numéricamente iguales tiene longitudes de arista

\log_2 x,

\log_3 x,

y

\log_4 x.

¿Cuánto vale

x

?

A right rectangular prism whose surface area and volume are numerically equal has edge lengths

\log_2 x,

\log_3 x,

and

\log_4 x.

What is

x?

2\sqrt{6}

6\sqrt{6}

24

48

576

Con aristas

a, b, c,

la ecuación

abc = 2(ab + bc + ca)

se divide para dar

1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)

With edges

a, b, c,

the equation

abc = 2(ab + bc + ca)

divides to

1 = 2\left(\tfrac{1}{a} + \tfrac{1}{b} + \tfrac{1}{c}\right)

\dfrac{1}{\log_2 x}

+ \dfrac{1}{\log_3 x}

+ \dfrac{1}{\log_4 x}

= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4

= \log_x 24

.

\dfrac{1}{\log_2 x}

+ \dfrac{1}{\log_3 x}

+ \dfrac{1}{\log_4 x}

= \log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4

= \log_x 24

Sea

a = \log_2 x,

b = \log_3 x,

c = \log_4 x.

Que el área de superficie sea igual al volumen da

2(ab + bc + ca) = abc.

Dividiendo entre

abc,

1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).

Como

\dfrac{1}{a} = \log_x 2,

etcétera, la suma es

\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24.

Así

1 = 2\log_x 24,

por lo que

\log_x 24 = \tfrac{1}{2},

lo que significa

x^{\frac{1}{2}} = 24

y

x = 576.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

a = \log_2 x,

b = \log_3 x,

c = \log_4 x.

Surface area equals volume gives

2(ab + bc + ca) = abc.

Dividing by

abc,

1 = 2\left(\frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right).

Since

\dfrac{1}{a} = \log_x 2,

etc., the sum is

\log_x 2 + \log_x 3 + \log_x 4 = \log_x 24.

Thus

1 = 2\log_x 24,

so

\log_x 24 = \tfrac{1}{2},

meaning

x^{\frac{1}{2}} = 24

and

x = 576.

Thus, the correct answer is E.

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