2021 AMC 12A Fall Problema 7

Question

Una escuela tiene

100

estudiantes y

5

profesores. En el primer período, cada estudiante toma una clase, y cada profesor enseña una clase. Las inscripciones en las clases son

50,

20,

20,

5,

y

5.

Sea

t

el valor promedio obtenido si se elige un profesor al azar y se anota el número de estudiantes en su clase. Sea

s

el valor promedio obtenido si se elige un estudiante al azar y se anota el número de estudiantes en su clase, incluido el estudiante. ¿Cuánto vale

t - s

?

A school has

100

students and

5

teachers. In the first period, each student is taking one class, and each teacher is teaching one class. The enrollments in the classes are

50,

20,

20,

5,

and

5.

Let

t

be the average value obtained if a teacher is picked at random and the number of students in their class is noted. Let

s

be the average value obtained if a student was picked at random and the number of students in their class, including the student, is noted. What is

t - s?

-18.5

-13.5

0

13.5

18.5

Respuesta: B

Conceptos:media valor esperado

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

t

es un promedio simple sobre las

5

clases:

\dfrac{50+20+20+5+5}{5}

.

t

is a plain average over the

5

classes:

\dfrac{50+20+20+5+5}{5}

Pista grande:

Para

s,

cada clase de tamaño

n

se cuenta

n

veces:

s = \dfrac{\sum n^2}{100}

.

For

s,

each class of size

n

is counted

n

times:

s = \dfrac{\sum n^2}{100}

Solución:

El promedio de los profesores es

t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}

= \dfrac{100}{5} = 20.

El promedio de los estudiantes pondera el tamaño de cada clase por cuántos estudiantes hay en ella:

\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5. \end{aligned}

Así que

t - s = 20 - 33.5 = -13.5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The teacher average is

t = \dfrac{50 + 20 + 20 + 5 + 5}{5}

= \dfrac{100}{5} = 20.

The student average weights each class size by how many students are in it:

\begin{aligned} s &= \small \frac{50^2 + 20^2 + 20^2 + 5^2 + 5^2}{100} \\ &= \small \frac{2500 + 400 + 400 + 25 + 25}{100} \\ &= 33.5. \end{aligned}

So

t - s = 20 - 33.5 = -13.5.

Thus, the correct answer is B.