2021 AMC 12A Fall Problema 10

Question

La representación en base nueve del número

N

es

27{,}006{,}000{,}052_9.

¿Cuál es el residuo cuando

N

se divide entre

5

?

The base-nine representation of the number

N

is

27{,}006{,}000{,}052_9.

What is the remainder when

N

is divided by

5?

0

1

2

3

4

Respuesta: D

Conceptos:aritmética modular base numérica

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

9 \equiv -1 \pmod 5,

así que

9^k \equiv (-1)^k \pmod 5

9 \equiv -1 \pmod 5,

so

9^k \equiv (-1)^k \pmod 5

Pista grande:

Toma la suma alternada de los dígitos en base nueve (desde la derecha)

Take the alternating sum of the base-nine digits (from the right)

Solución:

Como

9 \equiv -1 \pmod 5,

cada potencia

9^k \equiv (-1)^k,

así que

N

es congruente con la suma alternada de sus dígitos en base nueve.

Los dígitos no nulos, con sus posiciones desde la derecha, son

2

(posición

0

),

5

(posición

1

),

6

(posición

6

),

7

(posición

9

), y

2

(posición

10

). La suma alternada es

2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2

\equiv 3 \pmod 5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

9 \equiv -1 \pmod 5,

each power

9^k \equiv (-1)^k,

so

N

is congruent to the alternating sum of its base-nine digits.

The nonzero digits, with their positions from the right, are

2

(position

0

),

5

(position

1

),

6

(position

6

),

7

(position

9

), and

2

(position

10

). The alternating sum is

2 - 5 + 6 - 7 + 2 = -2

\equiv 3 \pmod 5.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall Problema 10

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años