2021 AMC 12B Spring Problema 7

Question

Sea

N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.

¿Cuál es la razón entre la suma de los divisores impares de

N

y la suma de los divisores pares de

N

?

Let

N=34\cdot 34\cdot 63\cdot 270.

What is the ratio of the sum of the odd divisors of

N

to the sum of the even divisors of

N?

1:16

1:15

1:14

1:8

1:3

Respuesta: C

Conceptos:factorización en primos suma de factores

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Halla la potencia exacta de

2

que divide a

N

Find the exact power of

2

dividing

N

Pista grande:

Si

M

es la parte impar de

N

y

2^k

la parte par, cada divisor par es

2^j

por un divisor impar

If

M

is the odd part of

N

and

2^k

the even part, every even divisor is

2^j

times an odd divisor

Solución:

Factorizando,

34=2\cdot 17,

63=3^2\cdot 7,

y

270=2\cdot 3^3\cdot 5,

así que

N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

Sea

M

la parte impar

3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

La suma de todos los divisores es

(1+2+4+8)\,\sigma(M)

=15\,\sigma(M).

Los divisores impares suman

\sigma(M),

así que los divisores pares suman

15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).

La razón es

\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Factoring,

34=2\cdot 17,

63=3^2\cdot 7,

and

270=2\cdot 3^3\cdot 5,

so

N=2^3\cdot 3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

Let

M

be the odd part

3^5\cdot 5\cdot 7\cdot 17^2.

The sum of all divisors is

(1+2+4+8)\,\sigma(M)

=15\,\sigma(M).

The odd divisors sum to

\sigma(M),

so the even divisors sum to

15\,\sigma(M)-\sigma(M)=14\,\sigma(M).

The ratio is

\sigma(M):14\,\sigma(M)=1:14.

Thus, the correct answer is C.