2021 AMC 12B Spring Problema 16

Question

Sea

g(x)

un polinomio con coeficiente principal

1,

cuyas tres raíces son los recíprocos de las tres raíces de

f(x)=x^3+ax^2+bx+c,

donde

1\lt a\lt b\lt c.

¿Cuánto vale

g(1)

en términos de

a,

b,

y

c

?

Let

g(x)

be a polynomial with leading coefficient

1,

whose three roots are the reciprocals of the three roots of

f(x)=x^3+ax^2+bx+c,

where

1\lt a\lt b\lt c.

What is

g(1)

in terms of

a,

b,

and

c?

\dfrac{1+a+b+c}{c}

1+a+b+c

\dfrac{1+a+b+c}{c^2}

\dfrac{a+b+c}{c^2}

\dfrac{1+a+b+c}{a+b+c}

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Si

f

tiene raíces

r,s,t,

entonces

g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)

If

f

has roots

r,s,t,

then

g(1)=\left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right)\left(1-\tfrac1t\right)

Pista grande:

Esto es igual a

\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst};

relaciona el numerador con

f(1)

y el denominador con

c

This equals

\dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst};

relate the numerator to

f(1)

and the denominator to

c

Solución:

Sea

f

con raíces

r,s,t.

Como

g

es mónico con raíces

\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t,

\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}. \end{aligned}

Ahora

f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)

=1+a+b+c,

así que

(r-1)(s-1)(t-1)

=-(1+a+b+c).

Además

rst=-c.

Por lo tanto

g(1)

=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}

=\dfrac{1+a+b+c}{c}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

f

have roots

r,s,t.

Since

g

is monic with roots

\tfrac1r,\tfrac1s,\tfrac1t,

\begin{aligned} g(1) &= \left(1-\tfrac1r\right)\left(1-\tfrac1s\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1-\tfrac1t\right) \\ &= \dfrac{(r-1)(s-1)(t-1)}{rst}. \end{aligned}

Now

f(1)=(1-r)(1-s)(1-t)

=1+a+b+c,

so

(r-1)(s-1)(t-1)

=-(1+a+b+c).

Also

rst=-c.

Therefore

g(1)

=\dfrac{-(1+a+b+c)}{-c}

=\dfrac{1+a+b+c}{c}.

Thus, the correct answer is A.