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2021 AMC 12B Spring Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2021 AMC 12B Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

La figura está construida con 1111 segmentos de recta, cada uno de longitud 2.2. El área del pentágono ABCDEABCDE puede escribirse como m+n,\sqrt m+\sqrt n, donde mm y nn son enteros positivos. ¿Cuánto vale m+nm+n?

The figure is constructed from 1111 line segments, each of which has length 2.2. The area of pentagon ABCDEABCDE can be written as m+n,\sqrt m+\sqrt n, where mm and nn are positive integers. What is m+n?m+n?

2020

2121

2222

2323

2424

Respuesta: D
Conceptos:circle geometrygeometría analíticafórmula del cordón
Nivel de dificultad: 1890
Solución:

El punto interior derecho está a distancia 22 de A,B,C,A,B,C, así que estos tres puntos están en un círculo de radio 2.2. Las cuerdas ABAB y BCBC también miden 2,2, por lo que cada una subtiende 60∘60^\circ en el centro. Así, AC=23.AC=2\sqrt3. La otra mitad es, de manera similar, su imagen especular.

Tomemos C=(−1,0),C=(-1,0), D=(1,0),D=(1,0), y A=(0,11);A=(0,\sqrt{11}); entonces AC=AD=23.AC=AD=2\sqrt3. La otra intersección de los círculos de radio 22 centrados en AA y CC es B=(−12−1123,112+123), B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right), y EE es su reflexión respecto del eje yy.

Al aplicar la fórmula del zapato a A,B,C,D,EA,B,C,D,E, obtenemos [ABCDE]=11+23,[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3, que es igual a 11+12.\sqrt{11}+\sqrt{12}.

Por tanto, m+n=11+12=23.m+n=11+12=23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The right interior point is distance 22 from A,B,C,A,B,C, so these three points lie on a circle of radius 2.2. Chords ABAB and BCBC also have length 2,2, so each subtends 60∘60^\circ at the center. Thus AC=23.AC=2\sqrt3. Similarly, the other half is its mirror image.

Put C=(−1,0),C=(-1,0), D=(1,0),D=(1,0), and A=(0,11);A=(0,\sqrt{11}); then AC=AD=23.AC=AD=2\sqrt3. The other intersection of the radius-22 circles centered at AA and CC is B=(−12−1123,112+123), B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right), and EE is its reflection across the yy-axis.

Applying the shoelace formula to A,B,C,D,EA,B,C,D,E gives [ABCDE]=11+23,[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3, which equals 11+12.\sqrt{11}+\sqrt{12}.

So m+n=11+12=23.m+n=11+12=23.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 15 en otros años

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