2021 AMC 12B Spring Problema 15

Question

La figura está construida con

11

segmentos de recta, cada uno de longitud

2.

El área del pentágono

ABCDE

puede escribirse como

\sqrt m+\sqrt n,

donde

m

y

n

son enteros positivos. ¿Cuánto vale

m+n

?

The figure is constructed from

11

line segments, each of which has length

2.

The area of pentagon

ABCDE

can be written as

\sqrt m+\sqrt n,

where

m

and

n

are positive integers. What is

m+n?

20

21

22

23

24

Respuesta: D

Conceptos:circle geometry geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Cada punto interior está a distancia

2

de tres vértices exteriores consecutivos, así que es su circuncentro

Each interior point is distance

2

from three consecutive outer vertices, so it is their circumcenter

Pista grande:

Como las cuerdas

AB

y

BC

tienen longitud igual al radio

2,

se tiene

AC=2\sqrt3;

luego usa coordenadas simétricas

Since chords

AB

and

BC

have length equal to the radius

2,

AC=2\sqrt3;

then use symmetric coordinates

Solución:

El punto interior derecho está a distancia

2

de

A,

B

y

C,

así que estos tres puntos están en un círculo de radio

2.

Las cuerdas

AB

y

BC

también miden

2,

por lo que cada una subtiende

60^\circ

en el centro. Así,

AC=2\sqrt3.

La otra mitad es, de manera similar, su imagen especular.

Tomemos

C=(-1,0),

D=(1,0),

y

A=(0,\sqrt{11});

entonces

AC=AD=2\sqrt3.

La otra intersección de los círculos de radio

2

centrados en

A

y

C

es

B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right),

y

E

es su reflexión respecto del eje

y

.

Al aplicar la fórmula del zapato a

A,B,C,D,E

, obtenemos

[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3,

que es igual a

\sqrt{11}+\sqrt{12}.

Por tanto,

m+n=11+12=23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The right interior point is distance

2

from

A,

B,

and

C,

so these three points lie on a circle of radius

2.

Chords

AB

and

BC

also have length

2,

so each subtends

60^\circ

at the center. Thus

AC=2\sqrt3.

Similarly, the other half is its mirror image.

Put

C=(-1,0),

D=(1,0),

and

A=(0,\sqrt{11});

then

AC=AD=2\sqrt3.

The other intersection of the radius-

2

circles centered at

A

and

C

is

B=\left(-\tfrac12-\tfrac{\sqrt{11}}{2\sqrt3}, \tfrac{\sqrt{11}}2+\tfrac{1}{2\sqrt3}\right),

and

E

is its reflection across the

y

-axis.

Applying the shoelace formula to

A,B,C,D,E

gives

[ABCDE]=\sqrt{11}+2\sqrt3,

which equals

\sqrt{11}+\sqrt{12}.

So

m+n=11+12=23.

Thus, the correct answer is D.