2021 AMC 12B Spring Problema 10

Question

Se seleccionan dos números distintos del conjunto

\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}

de modo que la suma de los

35

números restantes sea el producto de estos dos números. ¿Cuál es la diferencia de estos dos números?

Two distinct numbers are selected from the set

\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}

so that the sum of the remaining

35

numbers is the product of these two numbers. What is the difference of these two numbers?

5

7

8

9

10

Respuesta: E

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

El conjunto completo suma

703;

si los dos números elegidos son

a

y

b,

entonces

703-a-b=ab

The full set sums to

703;

if the two chosen numbers are

a

and

b,

then

703-a-b=ab

Pista grande:

Reordena a

(a+1)(b+1)=704

y factoriza

Rearrange to

(a+1)(b+1)=704

and factor

Solución:

La suma

1+2+\cdots+37=703.

Si los números elegidos son

a

y

b,

entonces

703-a-b=ab.

Así que

ab+a+b=703,

y sumando

1

se obtiene

(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.

Necesitamos factores

a+1,b+1

entre

2

y

38.

El par

22\cdot 32=704

funciona, dando

a=21,

b=31.

Su diferencia es

31-21=10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum

1+2+\cdots+37=703.

If the chosen numbers are

a

and

b,

then

703-a-b=ab.

So

ab+a+b=703,

and adding

1

gives

(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.

We need factors

a+1,b+1

between

2

and

38.

The pair

22\cdot 32=704

works, giving

a=21,

b=31.

Their difference is

31-21=10.

Thus, the correct answer is E.