2021 AMC 12A Spring Problema 2

Question

¿Bajo qué condiciones es cierto que

\sqrt{a^2 + b^2} = a + b

, donde

a

y

b

son números reales?

Under what conditions is

\sqrt{a^2 + b^2} = a + b

true, where

a

and

b

are real numbers?

Nunca es cierto.

It is never true.

Es cierto si y solo si

ab = 0.

It is true if and only if

ab = 0.

Es cierto si y solo si

a + b \ge 0.

It is true if and only if

a + b \ge 0.

Es cierto si y solo si

ab = 0

y

a + b \ge 0.

It is true if and only if

ab = 0

and

a + b \ge 0.

Siempre es cierto.

It is always true.

Respuesta: D

Conceptos:radical manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

El lado izquierdo es una raíz cuadrada, así que nunca puede ser negativo; esto obliga a que

a + b \ge 0

.

The left side is a square root, so it can never be negative; this forces

a + b \ge 0

Pista grande:

Al elevar al cuadrado se obtiene

a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2,

así que

2ab = 0

.

Squaring gives

a^2 + b^2 = a^2 + 2ab + b^2,

so

2ab = 0

Solución:

Como

\sqrt{a^2+b^2}

nunca es negativo, la igualdad exige

a + b \ge 0.

Al elevar ambos lados al cuadrado se obtiene

a^2 + b^2 = (a+b)^2

= a^2 + 2ab + b^2,

lo que se simplifica a

2ab = 0,

es decir,

ab = 0.

Recíprocamente, si

ab = 0

, entonces

a^2 + b^2 = (a+b)^2,

y si además

a + b \ge 0

, entonces

\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b.

Por tanto, las dos condiciones juntas son exactamente las necesarias.

Así, la respuesta correcta es D.

Because

\sqrt{a^2+b^2}

is never negative, equality requires

a + b \ge 0.

Squaring both sides gives

a^2 + b^2 = (a+b)^2

= a^2 + 2ab + b^2,

which simplifies to

2ab = 0,

i.e.

ab = 0.

Conversely, if

ab = 0

then

a^2 + b^2 = (a+b)^2,

and if additionally

a + b \ge 0

then

\sqrt{a^2+b^2} = |a+b| = a+b.

So both conditions together are exactly what is needed.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Spring Problema 2

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 2 en otros años