2020 AMC 12A Problema 10

Question

Existe un único entero positivo

n

tal que

\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).

¿Cuál es la suma de los dígitos de

n

?

There is a unique positive integer

n

such that

\log_2(\log_{16} n) = \log_4(\log_4 n).

What is the sum of the digits of

n?

4

7

8

11

13

Respuesta: E

Conceptos:logaritmo sustitución

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,

así que sea

y = \log_4 n

.

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,

so let

y = \log_4 n

Pista grande:

La ecuación se convierte en

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y;

eleva al cuadrado para despejar

y

.

The equation becomes

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \tfrac12 \log_2 y;

square to solve for

y

Solución:

Como

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,

sea

y = \log_4 n.

La ecuación se convierte en

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.

Multiplicando por

2

se obtiene

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y,

así que

\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y,

lo que da

y = 4.

Entonces

\log_4 n = 4,

así que

n = 4^4 = 256,

y la suma de los dígitos es

2 + 5 + 6 = 13.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Since

\log_{16} n = \tfrac12 \log_4 n,

set

y = \log_4 n.

The equation becomes

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right) = \log_4 y = \tfrac12 \log_2 y.

Multiplying by

2

gives

\log_2\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = \log_2 y,

so

\left(\tfrac{y}{2}\right)^2 = y,

which yields

y = 4.

Then

\log_4 n = 4,

so

n = 4^4 = 256,

and the digit sum is

2 + 5 + 6 = 13.

Thus, E is the correct answer.