2019 AMC 12A Problema 17

Question

Sea

s_k

la suma de las

k

-ésimas potencias de las raíces del polinomio

x^3 - 5x^2 + 8x - 13.

En particular,

s_0 = 3,

s_1 = 5,

y

s_2 = 9.

Sean

a,

b,

y

c

números reales tales que

s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}

para

k = 2,

3,

\ldots.

¿Cuánto vale

a + b + c

?

Let

s_k

denote the sum of the

k

th powers of the roots of the polynomial

x^3 - 5x^2 + 8x - 13.

In particular,

s_0 = 3,

s_1 = 5,

and

s_2 = 9.

Let

a,

b,

and

c

be real numbers such that

s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}

for

k = 2,

3,

\ldots.

What is

a + b + c?

-6

0

6

10

26

Respuesta: D

Conceptos:Sumas de Newton polinomio recursión

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Cada raíz

r

satisface

r^3 = 5r^2 - 8r + 13

.

Each root

r

satisfies

r^3 = 5r^2 - 8r + 13

Pista grande:

Multiplica por

r^{k-2}

y suma sobre las raíces para leer

a, b, c

.

Multiply by

r^{k-2}

and sum over the roots to read off

a, b, c

Solución:

Cada raíz

r

satisface

r^3 = 5r^2 - 8r + 13,

así que

r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.

Sumando sobre las tres raíces se obtiene

s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},

así que

a = 5,

b = -8,

c = 13.

Por lo tanto

a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every root

r

satisfies

r^3 = 5r^2 - 8r + 13,

so

r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.

Summing over the three roots gives

s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},

so

a = 5,

b = -8,

c = 13.

Therefore

a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.

Thus, the correct answer is D.