2018 AMC 12B Problema 7

Question

¿Cuál es el valor de

\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}

What is the value of

\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_5 9\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25\cdot\log_{23} 27? \end{gathered}

3

3\log_7 23

6

9

10

Aplica la fórmula de cambio de base

\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}

.

Apply the change-of-base formula

\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}

Sepáralo en dos cadenas telescópicas: bases

3,7,11,\dots

y bases

5,9,13,\dots

.

Separate into two telescoping chains: bases

3,7,11,\dots

and bases

5,9,13,\dots

Los factores se separan en dos cadenas telescópicas. Los factores en posición impar forman

\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered}

y los factores en posición par forman

\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}

El producto es

3\cdot2=6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The factors split into two telescoping chains. The odd-position factors form

\begin{gathered} \log_3 7\cdot\log_7 11 \\ {}\cdot\log_{11} 15\cdots\log_{23} 27 \\ =\log_3 27=3, \end{gathered}

and the even-position factors form

\begin{gathered} \log_5 9\cdot\log_9 13\cdots\log_{21} 25 \\ =\log_5 25=2. \end{gathered}

The product is

3\cdot2=6.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 7 en otros años