2018 AMC 12B Problema 19

Question

Mary eligió un número par de

4

dígitos

n.

Escribió todos los divisores de

n

en orden creciente de izquierda a derecha:

1,

2,

\ldots,

\tfrac{n}{2},

n.

En cierto momento Mary escribió

323

como divisor de

n.

¿Cuál es el menor valor posible del siguiente divisor escrito a la derecha de

323

?

Mary chose an even

4

-digit number

n.

She wrote down all the divisors of

n

in increasing order from left to right:

1,

2,

\ldots,

\tfrac{n}{2},

n.

At some moment Mary wrote

323

as a divisor of

n.

What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of

323?

324

330

340

361

646

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Factoriza

323=17\cdot19

.

Factor

323=17\cdot19

Pista grande:

Si el siguiente divisor

d

fuera coprimo con

323,

entonces

n\ge323d\gt9999;

así que

d

comparte un primo con

323

.

If the next divisor

d

were coprime to

323,

then

n\ge323d\gt9999;

so

d

shares a prime with

323

Solución:

Sea

d

el siguiente divisor después de

323.

Si

\gcd(d,323)=1,

entonces

323d

divide a

n,

obligando a que

n\ge323d\gt323^2\gt9999,

imposible para un número de

4

dígitos. Así que

d

comparte un factor primo con

323=17\cdot19.

Entonces

d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,

así que

d\ge340.

En efecto,

d=340=17\cdot20

ocurre para

n=17\cdot19\cdot20=6460,

que es par y de

4

dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

d

be the next divisor after

323.

If

\gcd(d,323)=1,

then

323d

divides

n,

forcing

n\ge323d\gt323^2\gt9999,

impossible for a

4

-digit number. So

d

shares a prime factor with

323=17\cdot19.

Then

d-323\ge\gcd(d,323)\ge17,

so

d\ge340.

Indeed

d=340=17\cdot20

occurs for

n=17\cdot19\cdot20=6460,

which is even and

4

-digit.

Thus, the correct answer is C.