2018 AMC 12A Problema 7

Question

¿Para cuántos valores enteros de

n

(no necesariamente positivos) el valor de

4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n

es un entero?

For how many (not necessarily positive) integer values of

n

is the value of

4000 \cdot \left(\tfrac{2}{5}\right)^n

an integer?

3

4

6

8

9

Escribe

4000 = 2^5 \cdot 5^3,

así que la expresión es

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}

Write

4000 = 2^5 \cdot 5^3,

so the expression is

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}

Esto es un entero exactamente cuando ambos exponentes

5 + n

y

3 - n

son no negativos

This is an integer exactly when both exponents

5 + n

and

3 - n

are nonnegative

Como

4000 = 2^5 \cdot 5^3,

la expresión es igual a

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.

Esto es un entero exactamente cuando

5 + n \ge 0

y

3 - n \ge 0,

es decir,

-5 \le n \le 3.

Hay

3 - (-5) + 1 = 9

enteros de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

4000 = 2^5 \cdot 5^3,

the expression equals

2^{5+n} \cdot 5^{3-n}.

This is an integer exactly when both

5 + n \ge 0

and

3 - n \ge 0,

that is,

-5 \le n \le 3.

There are

3 - (-5) + 1 = 9

such integers.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 7 en otros años