2017 AMC 12B Problema 7

Question

Las funciones

\sin(x)

y

\cos(x)

son periódicas con período mínimo

2\pi.

¿Cuál es el período mínimo de la función

\cos(\sin(x))

?

The functions

\sin(x)

and

\cos(x)

are periodic with least period

2\pi.

What is the least period of the function

\cos(\sin(x))?

\dfrac{\pi}{2}

\pi

2\pi

4\pi

No es periódica.

It’s not periodic.

Respuesta: B

Conceptos:identidad trigonométrica función

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Usa que

\sin(x + \pi) = -\sin(x)

y que

\cos

es par

Use that

\sin(x + \pi) = -\sin(x)

and

\cos

is even

Pista grande:

Para descartar un período menor, observa que

\cos(\sin(x)) = 1

solo cuando

\sin(x) = 0,

es decir, en los múltiplos de

\pi

To rule out a smaller period, note

\cos(\sin(x)) = 1

only when

\sin(x) = 0,

i.e. at multiples of

\pi

Solución:

Como

\cos(\sin(x + \pi))

= \cos(-\sin(x))

= \cos(\sin(x)),

la función tiene período

\pi.

No puede ser menor:

\cos(\sin(x)) = 1

exactamente cuando

\sin(x) = 0,

lo que ocurre solo en los múltiplos enteros de

\pi,

de modo que los máximos están separados por

\pi

. El período mínimo es

\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

\cos(\sin(x + \pi))

= \cos(-\sin(x))

= \cos(\sin(x)),

the function has period

\pi.

It cannot be smaller:

\cos(\sin(x)) = 1

exactly when

\sin(x) = 0,

which happens only at integer multiples of

\pi,

so the maxima are spaced

\pi

apart. The least period is

\pi.

Thus, the correct answer is B.