2017 AMC 12A Problema 22

Question

Se dibuja un cuadrado en el plano de coordenadas cartesiano con vértices en

(2,2),

(-2,2),

(-2,-2),

y

(2,-2).

Una partícula parte de

(0,0).

Cada segundo se mueve con igual probabilidad a uno de los ocho puntos reticulares (puntos de coordenadas enteras) más cercanos a su posición actual, independientemente de sus movimientos anteriores. En otras palabras, la probabilidad es

\dfrac{1}{8}

de que la partícula se mueva de

(x,y)

a cada uno de

(x,y+1),

(x+1,y+1),

(x+1,y),

(x+1,y-1),

(x,y-1),

(x-1,y-1),

(x-1,y),

o

(x-1,y+1).

La partícula finalmente tocará el cuadrado por primera vez, ya sea en uno de los

4

vértices del cuadrado o en uno de los

12

puntos reticulares del interior de uno de los lados del cuadrado. La probabilidad de que toque en un vértice en lugar de en un punto interior de un lado es

\dfrac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

m+n

?

A square is drawn in the Cartesian coordinate plane with vertices at

(2,2),

(-2,2),

(-2,-2),

and

(2,-2).

A particle starts at

(0,0).

Every second it moves with equal probability to one of the eight lattice points (points with integer coordinates) closest to its current position, independently of its previous moves. In other words, the probability is

\dfrac{1}{8}

that the particle will move from

(x,y)

to each of

(x,y+1),

(x+1,y+1),

(x+1,y),

(x+1,y-1),

(x,y-1),

(x-1,y-1),

(x-1,y),

or

(x-1,y+1).

The particle will eventually hit the square for the first time, either at one of the

4

corners of the square or at one of the

12

lattice points in the interior of one of the sides of the square. The probability that it will hit at a corner rather than at an interior point of a side is

\dfrac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m+n?

4

5

7

15

39

Respuesta: E

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva simetría

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Por simetría, sigue solo tres estados interiores: el centro, los cuatro vecinos que son puntos medios de aristas y los cuatro vecinos diagonales

By symmetry, track only three interior states: the center, the four edge-midpoint neighbors, and the four diagonal neighbors

Pista grande:

Escribe las ecuaciones de probabilidad de contacto para cada estado y resuelve el sistema lineal para el valor del centro

Write hitting-probability equations for each state and solve the linear system for the center’s value

Solución:

Por simetría, agrupa los puntos interiores relevantes en tres tipos:

C=\{(0,0)\},

los puntos «de eje»

A=\{(\pm1,0),(0,\pm1)\},

y los puntos «diagonales»

I=\{(\pm1,\pm1)\}.

Sean

a,c,i

las probabilidades de terminar tocando un vértice partiendo de un punto de tipo

A,C,I.

Leyendo las probabilidades de transición (un punto en

A

va a

A

con probabilidad

\tfrac28,

a

C

con

\tfrac18,

a

I

con

\tfrac28,

y al interior de un lado con

\tfrac38,

etc.) se obtiene

\begin{aligned} &a=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac28 i,\quad \\ &c=\tfrac48 a+\tfrac48 i,\quad \\ &i=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac18. \end{aligned}

Al resolver se obtiene

a=\dfrac{1}{14},

c=\dfrac{4}{35},

i=\dfrac{11}{70}.

La probabilidad buscada es

c=\dfrac{4}{35},

así que

m+n=4+35=39.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By symmetry, group the relevant interior points into three types:

C=\{(0,0)\},

the “axis” points

A=\{(\pm1,0),(0,\pm1)\},

and the “diagonal” points

I=\{(\pm1,\pm1)\}.

Let

a,c,i

be the probabilities of eventually hitting a corner starting from a point of type

A,C,I.

Reading off the transition probabilities (a point in

A

goes to

A

with prob

\tfrac28,

to

C

with

\tfrac18,

to

I

with

\tfrac28,

and to a side interior with

\tfrac38,

etc.) gives

\begin{aligned} &a=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac28 i,\quad \\ &c=\tfrac48 a+\tfrac48 i,\quad \\ &i=\tfrac28 a+\tfrac18 c+\tfrac18. \end{aligned}

Solving yields

a=\dfrac{1}{14},

c=\dfrac{4}{35},

i=\dfrac{11}{70}.

The required probability is

c=\dfrac{4}{35},

so

m+n=4+35=39.

Thus, the correct answer is E.