2016 AMC 12B Problema 10

Question

Un cuadrilátero tiene vértices

P(a,b),

Q(b,a),

R(-a,-b),

y

S(-b,-a),

donde

a

y

b

son enteros con

a\gt b\gt0.

El área de

PQRS

es

16.

¿Cuánto vale

a+b

?

A quadrilateral has vertices

P(a,b),

Q(b,a),

R(-a,-b),

and

S(-b,-a),

where

a

and

b

are integers with

a\gt b\gt0.

The area of

PQRS

is

16.

What is

a+b?

4

5

6

12

13

Respuesta: A

Conceptos:geometría analítica rectángulo diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Revisa las pendientes:

\overline{PQ}

y

\overline{RS}

tienen pendiente

-1,

mientras que

\overline{QR}

y

\overline{PS}

tienen pendiente

1,

así que

PQRS

es un rectángulo.

Check the slopes:

\overline{PQ}

and

\overline{RS}

have slope

-1,

while

\overline{QR}

and

\overline{PS}

have slope

1,

so

PQRS

is a rectangle

Pista grande:

Sus lados son

(a-b)\sqrt2

y

(a+b)\sqrt2,

así que el área es

2(a^2-b^2)=16

.

Its sides are

(a-b)\sqrt2

and

(a+b)\sqrt2,

so the area is

2(a^2-b^2)=16

Solución:

Los lados

\overline{PQ}

y

\overline{RS}

tienen pendiente

-1,

y

\overline{QR}

y

\overline{PS}

tienen pendiente

1,

así que

PQRS

es un rectángulo con lados

(a-b)\sqrt2

y

(a+b)\sqrt2.

Su área es

2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)

=16,

así que

a^2-b^2=8.

Los únicos cuadrados perfectos que difieren en

8

son

9

y

1,

lo que da

a=3,

b=1,

y

a+b=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sides

\overline{PQ}

and

\overline{RS}

have slope

-1,

and

\overline{QR}

and

\overline{PS}

have slope

1,

so

PQRS

is a rectangle with sides

(a-b)\sqrt2

and

(a+b)\sqrt2.

Its area is

2(a-b)(a+b)=2(a^2-b^2)

=16,

so

a^2-b^2=8.

The only perfect squares differing by

8

are

9

and

1,

giving

a=3,

b=1,

and

a+b=4.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 12B Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años