Question

Existe un menor número real positivo $a$ tal que existe un número real positivo $b$ para el cual todas las raíces del polinomio $x^3-ax^2+bx-a$ son reales. De hecho, para este valor de $a$ el valor de $b$ es único. ¿Cuál es este valor de $b$ ?

There is a smallest positive real number $a$ such that there exists a positive real number $b$ such that all the roots of the polynomial $x^3-ax^2+bx-a$ are real. In fact, for this value of $a$ the value of $b$ is unique. What is this value of $b?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, las raíces reales $r,s,t$ satisfacen $r+s+t=a,$ $rs+st+tr=b,$ y $rst=a,$ así que $r+s+t=rst.$

El producto positivo significa que las tres raíces son positivas o que dos son negativas. En el segundo caso, escribamos las raíces como $-u,-v,w$ con $u,v,w\gt0.$ La suma positiva obliga a $w\gt u+v,$ y entonces $b=uv-w(u+v)\lt0,$ una contradicción. Por tanto, las tres raíces son positivas.

Por la desigualdad MA-MG, $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,$ de modo que $a=rst\ge 3\sqrt3,$ con igualdad si y solo si $r=s=t=\sqrt3.$ Para este menor $a,$ $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By Vieta's formulas, the real roots $r,s,t$ satisfy $r+s+t=a,$ $rs+st+tr=b,$ and $rst=a,$ so $r+s+t=rst.$

The positive product means either all three roots are positive or two are negative. In the latter case write the roots as $-u,-v,w$ with $u,v,w\gt0.$ The positive sum forces $w\gt u+v,$ and then $b=uv-w(u+v)\lt0,$ a contradiction. Hence all three roots are positive.

By the AM-GM inequality, $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,$ so $a=rst\ge 3\sqrt3,$ with equality if and only if $r=s=t=\sqrt3.$ At this smallest $a,$ $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12A Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

El Problema 24 en otros años