2015 AMC 12B Problema 15

Question

En la escuela de Rachelle una A vale

4

puntos, una B

3

puntos, una C

2

puntos, y una D

1

punto. Su GPA en las cuatro clases que cursa se calcula como la suma total de puntos dividida entre

4.

Está segura de que obtendrá A en Matemáticas y en Ciencias, y al menos una C en cada una de Inglés e Historia. Cree que tiene

\dfrac16

de probabilidad de obtener una A en Inglés, y

\dfrac14

de probabilidad de obtener una B. En Historia, tiene

\dfrac14

de probabilidad de obtener una A, y

\dfrac13

de probabilidad de obtener una B, independientemente de lo que obtenga en Inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que Rachelle obtenga un GPA de al menos

3.5

?

At Rachelle’s school an A counts

4

points, a B

3

points, a C

2

points, and a D

1

point. Her GPA on the four classes she is taking is computed as the total sum of points divided by

4.

She is certain that she will get As in both Mathematics and Science, and at least a C in each of English and History. She thinks she has a

\dfrac16

chance of getting an A in English, and a

\dfrac14

chance of getting a B. In History, she has a

\dfrac14

chance of getting an A, and a

\dfrac13

chance of getting a B, independently of what she gets in English. What is the probability that Rachelle will get a GPA of at least

3.5?

\dfrac{11}{72}

\dfrac16

\dfrac{3}{16}

\dfrac{11}{24}

\dfrac12

Respuesta: D

Conceptos:eventos independientes análisis por casos

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Un GPA de

3.5

necesita

14

puntos en total, así que Inglés e Historia deben dar al menos

6

puntos

A

3.5

GPA needs

14

total points, so English and History must give at least

6

points

Pista grande:

Encuentra la probabilidad de una C en cada clase, luego suma las probabilidades de los totales

6,

7,

y

8

Find each class’s chance of a C, then add the probabilities of totals

6,

7,

and

8

Solución:

Matemáticas y Ciencias dan

8

puntos, así que Rachelle necesita al menos

6

más de Inglés e Historia. La probabilidad de una C es

1 - \dfrac16 - \dfrac14 = \dfrac{7}{12}

en Inglés y

1 - \dfrac14 - \dfrac13 = \dfrac{5}{12}

en Historia.

Trabajando sobre un denominador de

144:

8

puntos tiene probabilidad

\dfrac16\cdot\dfrac14 = \dfrac{6}{144};

7

puntos tiene

\dfrac16\cdot\dfrac13 + \dfrac14\cdot\dfrac14 = \dfrac{17}{144};

y

6

puntos tiene

\dfrac16\cdot\dfrac{5}{12} + \dfrac14\cdot\dfrac13

+ \dfrac{7}{12}\cdot\dfrac14 = \dfrac{43}{144}.

El total es

\dfrac{6 + 17 + 43}{144} = \dfrac{66}{144} = \dfrac{11}{24}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Math and Science give

8

points, so Rachelle needs at least

6

more from English and History. The chance of a C is

1 - \dfrac16 - \dfrac14 = \dfrac{7}{12}

in English and

1 - \dfrac14 - \dfrac13 = \dfrac{5}{12}

in History.

Working over a denominator of

144:

8

points has probability

\dfrac16\cdot\dfrac14 = \dfrac{6}{144};

7

points has

\dfrac16\cdot\dfrac13 + \dfrac14\cdot\dfrac14 = \dfrac{17}{144};

and

6