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2014 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2014 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2014 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Sea ABCDEABCDE un pentágono inscrito en un círculo tal que AB=CD=3,AB = CD = 3, BC=DE=10,BC = DE = 10, y AE=14.AE = 14. La suma de las longitudes de todas las diagonales de ABCDEABCDE es igual a mn,\dfrac{m}{n}, donde mm y nn son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale m+nm + n?

Let ABCDEABCDE be a pentagon inscribed in a circle such that AB=CD=3,AB = CD = 3, BC=DE=10,BC = DE = 10, and AE=14.AE = 14. The sum of the lengths of all diagonals of ABCDEABCDE is equal to mn,\dfrac{m}{n}, where mm and nn are relatively prime positive integers. What is m+n?m + n?

129129

247247

353353

391391

421421

Respuesta: D
Conceptos:Teorema de Ptolomeocuerdapolinomio
Nivel de dificultad: 2650
Solución:

Como los arcos AB,CDAB, CD son iguales y los arcos BC,DEBC, DE son iguales, las cuerdas AC,BD,CEAC, BD, CE son todas iguales; sean x=AC=BD=CE,x = AC = BD = CE, y=AD,y = AD, y z=BE.z = BE.

El teorema de Ptolomeo en ABCD,ABCD, BCDE,BCDE, y ABDEABDE da Resolver las dos primeras para yy y zz y sustituir en la tercera da 10y+9=x2,100+3z=x2,30+14x=yz. \begin{gathered} 10y + 9 = x^2, \\ \quad 100 + 3z = x^2, \\ \quad 30 + 14x = yz. \end{gathered} x3−109x−420=0=(x−12)(x+5)(x+7). \begin{gathered} x^3 - 109x - 420 = 0 \\ = (x-12)(x+5)(x+7). \end{gathered}

Así que x=12,x = 12, y=13510=272,y = \tfrac{135}{10} = \tfrac{27}{2}, y z=443.z = \tfrac{44}{3}. Las cinco diagonales son AC,BD,CE,AD,BE,AC, BD, CE, AD, BE, que suman 3x+y+z=36+272+443=3856. \begin{gathered} 3x + y + z = 36 \\ {}+ \tfrac{27}{2} + \tfrac{44}{3} \\ = \tfrac{385}{6}. \end{gathered}

Por lo tanto m+n=385+6=391,m + n = 385 + 6 = 391, y la respuesta correcta es D.

Because arcs AB,CDAB, CD are equal and arcs BC,DEBC, DE are equal, the chords AC,BD,CEAC, BD, CE are all equal; let x=AC=BD=CE,x = AC = BD = CE, y=AD,y = AD, and z=BE.z = BE.

Ptolemy's theorem on ABCD,ABCD, BCDE,BCDE, and ABDEABDE gives 10y+9=x2,100+3z=x2,30+14x=yz. \begin{gathered} 10y + 9 = x^2, \\ \quad 100 + 3z = x^2, \\ \quad 30 + 14x = yz. \end{gathered} Solving the first two for yy and zz and substituting into the third yields x3−109x−420=0=(x−12)(x+5)(x+7). \begin{gathered} x^3 - 109x - 420 = 0 \\ = (x-12)(x+5)(x+7). \end{gathered}

So x=12,x = 12, y=13510=272,y = \tfrac{135}{10} = \tfrac{27}{2}, and z=443.z = \tfrac{44}{3}. The five diagonals are AC,BD,CE,AD,BE,AC, BD, CE, AD, BE, summing to 3x+y+z=36+272+443=3856. \begin{gathered} 3x + y + z = 36 \\ {}+ \tfrac{27}{2} + \tfrac{44}{3} \\ = \tfrac{385}{6}. \end{gathered}

Thus m+n=385+6=391,m + n = 385 + 6 = 391, and the correct answer is D.

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