Question

En un pequeño estanque hay once nenúfares en fila, numerados de $0$ a $10.$ Una rana está sentada en el nenúfar $1.$ Cuando la rana está en el nenúfar $N,$ $0 \lt N \lt 10,$ saltará al nenúfar $N - 1$ con probabilidad $\dfrac{N}{10}$ y al nenúfar $N + 1$ con probabilidad $1 - \dfrac{N}{10}.$ Cada salto es independiente de los saltos anteriores. Si la rana llega al nenúfar $0$ será comida por una serpiente que espera pacientemente. Si la rana llega al nenúfar $10$ saldrá del estanque para no volver. ¿Cuál es la probabilidad de que la rana escape de ser comida por la serpiente?

In a small pond there are eleven lily pads in a row labeled $0$ through $10.$ A frog is sitting on pad $1.$ When the frog is on pad $N,$ $0 \lt N \lt 10,$ it will jump to pad $N - 1$ with probability $\dfrac{N}{10}$ and to pad $N + 1$ with probability $1 - \dfrac{N}{10}.$ Each jump is independent of the previous jumps. If the frog reaches pad $0$ it will be eaten by a patiently waiting snake. If the frog reaches pad $10$ it will exit the pond, never to return. What is the probability that the frog will escape being eaten by the snake?

$\dfrac{32}{79}$

$\dfrac{161}{384}$

$\dfrac{63}{146}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Respuesta: C

Conceptos:camino aleatorio probabilidad recursiva simetría

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Sea $p_j$ la probabilidad de llegar finalmente al nenúfar $10$ partiendo del nenúfar $j.$ Por la simetría de la regla de salto en el centro, $p_5 = \tfrac12.$

Cada nenúfar interior satisface $p_j = \tfrac{10-j}{10}\,p_{j+1} + \tfrac{j}{10}\,p_{j-1},$ lo que da $\begin{gathered} p_4 = \tfrac25 p_3 + \tfrac35 p_5, \\ \quad p_3 = \tfrac{3}{10} p_2 + \tfrac{7}{10} p_4, \end{gathered}$ $p_2 = \tfrac15 p_1 + \tfrac45 p_3,\quad p_1 = \tfrac{9}{10} p_2.$

Sustituyendo hacia abajo desde $d_j=p_j-p_{j-1}.$ y resolviendo se obtiene $(10-j)d_{j+1}=jd_j,$ $p_0=0$ $p_5=1/2,$ $p_1=d_1=63/146.$ $\begin{gathered} d_2=\dfrac{d_1}{9},\quad d_3=\dfrac{d_1}{36}, \\ d_4=\dfrac{d_1}{84},\quad d_5=\dfrac{d_1}{126}. \end{gathered}$ $\begin{aligned} \dfrac12&=d_1\biggl(1+\dfrac19+\dfrac1{36} \\ &\qquad+\dfrac1{84}+\dfrac1{126}\biggr) \\ &=d_1\cdot\dfrac{73}{63}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $p_j$ be the probability of eventually reaching pad $10$ starting from pad $j.$ By the symmetry of the jump rule at the center, $p_5 = \tfrac12.$

Each interior pad satisfies $p_j = \tfrac{10-j}{10}\,p_{j+1} + \tfrac{j}{10}\,p_{j-1},$ which gives $\begin{gathered} p_4 = \tfrac25 p_3 + \tfrac35 p_5, \\ \quad p_3 = \tfrac{3}{10} p_2 + \tfrac{7}{10} p_4, \end{gathered}$ $p_2 = \tfrac15 p_1 + \tfrac45 p_3,\quad p_1 = \tfrac{9}{10} p_2.$

Put $d_j=p_j-p_{j-1}.$ The recurrence is equivalent to $(10-j)d_{j+1}=jd_j,$ so $\begin{gathered} d_2=\dfrac{d_1}{9},\quad d_3=\dfrac{d_1}{36}, \\ d_4=\dfrac{d_1}{84},\quad d_5=\dfrac{d_1}{126}. \end{gathered}$ Since $p_0=0$ and $p_5=1/2,$ $\begin{aligned} \dfrac12&=d_1\biggl(1+\dfrac19+\dfrac1{36} \\ &\qquad+\dfrac1{84}+\dfrac1{126}\biggr) \\ &=d_1\cdot\dfrac{73}{63}. \end{aligned}$ Therefore $p_1=d_1=63/146.$

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12B Problema 22

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

El Problema 22 en otros años