2014 AMC 12A Problema 24

Question

Sea

f_0(x)=x+|x-100|

-|x+100|,

y para

n\ge1,

sea

f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1.

¿Para cuántos valores de

x

se cumple

f_{100}(x)=0

?

Let

f_0(x)=x+|x-100|

-|x+100|,

and for

n\ge1,

let

f_n(x)=|f_{n-1}(x)|-1.

For how many values of

x

is

f_{100}(x)=0?

299

300

301

302

303

Respuesta: C

Conceptos:valor absoluto recursión conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Si

f_0(x)=\pm k

para un entero no negativo

k,

entonces

f_k(x)=0

y después los valores se repiten en ciclo

0,-1,0,-1,\ldots

If

f_0(x)=\pm k

for a nonnegative integer

k,

then

f_k(x)=0

and afterward the values cycle

0,-1,0,-1,\ldots

Pista grande:

Así que

f_{100}(x)=0

requiere

f_0(x)=2k

con

-50\le k\le50

; grafica

f_0

y cuenta las intersecciones con cada recta

y=2k

.

So

f_{100}(x)=0

needs

f_0(x)=2k

with

-50\le k\le50

; graph

f_0

and count intersections with each line

y=2k

Solución:

Si

f_{n-1}(x)=\pm k,

entonces

f_n(x)=k-1.

Así que si

f_0(x)=\pm k

para un entero no negativo

k,

entonces

f_k(x)=0,

tras lo cual la sucesión alterna

0,-1,0,\ldots

Por lo tanto

f_{100}(x)=0

exactamente cuando

f_0(x)=2k

para algún entero

-50\le k\le50.

Ahora

f_0(x)=x+|x-100|

-|x+100|

es igual a

x+200

para

x\lt-100,

a

-x

para

-100\le x\lt100,

y a

x-200

para

x\ge100.

Su gráfica es lineal por tramos con puntos de inflexión

(-100,100)

y

(100,-100).

Una recta

y=2k

corta esta gráfica tres veces para

-49\le k\le49

y dos veces para

k=\pm50.

El total es

99\cdot3+2\cdot2=301.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If

f_{n-1}(x)=\pm k,

then

f_n(x)=k-1.

So if

f_0(x)=\pm k

for a nonnegative integer

k,

then

f_k(x)=0,

after which the sequence alternates

0,-1,0,\ldots

Thus

f_{100}(x)=0

exactly when

f_0(x)=2k

for some integer

-50\le k\le50.

Now

f_0(x)=x+|x-100|

-|x+100|

equals

x+200

for

x\lt-100,

-x

for

-100\le x\lt100,

and

x-200

for

x\ge100.

Its graph is piecewise linear with turning points

(-100,100)

and

(100,-100).

A line

y=2k

meets this graph three times for

-49\le k\le49

and twice for

k=\pm50.

The total is

99\cdot3+2\cdot2=301.

Thus, the correct answer is C.

2014 AMC 12A Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años