2013 AMC 12B Problema 9

Question

¿Cuál es la suma de los exponentes de los factores primos de la raíz cuadrada del mayor cuadrado perfecto que divide a

12!

?

What is the sum of the exponents of the prime factors of the square root of the largest perfect square that divides

12!

?

5

7

8

10

12

Factoriza

12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11

.

Factor

12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11

El mayor divisor cuadrado conserva solo los exponentes pares; al dividirlos entre dos se obtiene la raíz cuadrada.

The largest square divisor keeps only even exponents; halving them gives the square root

Como

12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11,

el mayor cuadrado perfecto que lo divide es

2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2,

cuya raíz cuadrada es

2^5\cdot 3^2\cdot 5.

Los exponentes suman

5 + 2 + 1 = 8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

12! = 2^{10}\cdot 3^5\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11,

the largest perfect square dividing it is

2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2,

whose square root is

2^5\cdot 3^2\cdot 5.

The exponents sum to

5 + 2 + 1 = 8.

Thus, the correct answer is C.

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