2013 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2013 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Sea

ABC

un triángulo donde

M

es el punto medio de

AC,

y

CN

es la bisectriz del

\angle ACB

con

N

sobre

AB.

Sea

X

la intersección de la mediana

BM

y la bisectriz

CN.

Además

\triangle BXN

es equilátero y

AC = 2.

¿Cuánto vale

BN^2

?

Let

ABC

be a triangle where

M

is the midpoint of

AC,

and

CN

is the angle bisector of

\angle ACB

with

N

on

AB.

Let

X

be the intersection of the median

BM

and the bisector

CN.

In addition

\triangle BXN

is equilateral and

AC = 2.

What is

BN^2?

\dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}

\dfrac{2}{9}

\dfrac{5\sqrt2 - 3\sqrt3}{8}

\dfrac{\sqrt2}{6}

\dfrac{3\sqrt3 - 4}{5}

Respuesta: A

Conceptos:bisectriz triángulo equilátero ley de los cosenos semejanza

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Sea

\alpha = \angle ACN

y

x = BN;

el triángulo equilátero da

\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ

.

Let

\alpha = \angle ACN

and

x = BN;

the equilateral triangle gives

\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ

Pista grande:

Los triángulos semejantes dan

BC = \sqrt2

y

CX = (\sqrt2 + 1)x;

luego aplica la Ley de Cosenos en

\triangle BCX

.

Similar triangles yield

BC = \sqrt2

and

CX = (\sqrt2 + 1)x;

then apply the Law of Cosines in

\triangle BCX

Solución:

Sea

\alpha = \angle ACN = \angle NCB

y

x = BN.

Como

\triangle BXN

es equilátero,

\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ,

lo que da

\triangle ABC \sim \triangle BMC

y

\triangle ANC \sim \triangle BXC.

De la primera, con

MC = \tfrac12 AC = 1,

obtenemos

\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC},

así que

BC = \sqrt2.

De la segunda,

CX = (\sqrt2 + 1)x.

La Ley de Cosenos en

\triangle BCX

con

\angle BXC = 120^\circ

da

2 = x^2

+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2

+ (\sqrt2 + 1)x^2

= (5 + 3\sqrt2)x^2.

Por lo tanto

BN^2 = x^2

= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}

= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

\alpha = \angle ACN = \angle NCB

and

x = BN.

Since

\triangle BXN

is equilateral,

\angle BXC = \angle CNA = 120^\circ,

which gives

\triangle ABC \sim \triangle BMC

and

\triangle ANC \sim \triangle BXC.

From the first, with

MC = \tfrac12 AC = 1,

we get

\dfrac{BC}{2} = \dfrac{MC}{BC},

so

BC = \sqrt2.

From the second,

CX = (\sqrt2 + 1)x.

The Law of Cosines in

\triangle BCX

with

\angle BXC = 120^\circ

gives

2 = x^2

+ (\sqrt2 + 1)^2 x^2

+ (\sqrt2 + 1)x^2

= (5 + 3\sqrt2)x^2.

Hence

BN^2 = x^2

= \dfrac{2}{5 + 3\sqrt2}

= \dfrac{10 - 6\sqrt2}{7}.

Thus, the correct answer is A.

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