2013 AMC 12B Problema 16

Question

Sea

ABCDE

un pentágono convexo equiángulo de perímetro

1.

Las intersecciones por pares de las rectas que prolongan los lados del pentágono determinan un polígono en forma de estrella de cinco puntas. Sea

s

el perímetro de esta estrella. ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo valor posible de

s

?

Let

ABCDE

be an equiangular convex pentagon of perimeter

1.

The pairwise intersections of the lines that extend the sides of the pentagon determine a five-pointed star polygon. Let

s

be the perimeter of this star. What is the difference between the maximum and the minimum possible values of

s?

0

\dfrac{1}{2}

\dfrac{\sqrt5 - 1}{2}

\dfrac{\sqrt5 + 1}{2}

\sqrt5

Respuesta: A

Conceptos:polígono equiángulo triángulo isósceles invariante

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Cada ángulo interior de un pentágono equiángulo es

108^\circ,

así que cada punta de la estrella es un triángulo isósceles con vértice de

36^\circ

.

Each interior angle of an equiangular pentagon is

108^\circ,

so every point of the star is an isosceles triangle with a

36^\circ

apex

Pista grande:

Los dos lados iguales de cada punta de la estrella son el mismo múltiplo fijo

c

del lado del pentágono sobre el que se apoya, así que el perímetro de la estrella es

2c

veces el perímetro del pentágono.

Each star point’s two equal sides are the same fixed multiple

c

of the pentagon side it sits on, so the star perimeter is

2c

times the pentagon perimeter

Solución:

Un pentágono equiángulo tiene todos sus ángulos interiores

108^\circ,

así que cada punta de la estrella es un triángulo isósceles con ángulos de la base

72^\circ

y vértice

36^\circ.

Por la igualdad de los ángulos de la base, cada punta aporta dos lados que son el mismo múltiplo fijo

c

del lado del pentágono sobre el que se apoya. Sumando sobre las cinco puntas, el perímetro de la estrella es igual a

2c\cdot(\text{perímetro del pentágono}) = 2c,

independiente de las longitudes individuales de los lados. Así que

s

es constante, y la diferencia entre su valor máximo y su valor mínimo es

0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

An equiangular pentagon has all interior angles

108^\circ,

so each point of the star is an isosceles triangle with base angles

72^\circ

and apex

36^\circ.

By the equal base angles, each point contributes two sides that are the same fixed multiple

c

of the pentagon side it rests on. Summing over the five points, the star perimeter equals

2c\cdot(\text{pentagon perimeter}) = 2c,

independent of the individual side lengths. So

s

is constant, and the difference between its maximum and minimum values is

0.

Thus, the correct answer is A.