2013 AMC 12A Problema 10

Question

Sea

S

el conjunto de los enteros positivos

n

para los cuales

\dfrac{1}{n}

tiene la representación decimal periódica

0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,

con

a

y

b

dígitos distintos. ¿Cuál es la suma de los elementos de

S

?

Let

S

be the set of positive integers

n

for which

\dfrac{1}{n}

has the repeating decimal representation

0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,

with

a

and

b

different digits. What is the sum of the elements of

S?

11

44

110

143

155

Respuesta: D

Conceptos:decimal periódico factor

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Un bloque periódico de dos dígitos significa que

\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}

.

A two-digit repeating block means

\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}

Pista grande:

Así que

\dfrac{99}{n}

es el número de dos dígitos

\overline{ab};

revisa los divisores de

99

So

\dfrac{99}{n}

is the two-digit number

\overline{ab};

check the divisors of

99

Solución:

Si

\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},

entonces

\dfrac{99}{n} = \overline{ab},

un número de dos dígitos. Los divisores positivos de

99

son

1, 3, 9, 11, 33, 99.

Solo

n = 11, 33, 99

hacen que

\dfrac{99}{n}

sea igual a

09, 03, 01,

que tienen dos dígitos distintos. La suma pedida es

11 + 33 + 99 = 143.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If

\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},

then

\dfrac{99}{n} = \overline{ab},

a two-digit number. The positive divisors of

99

are

1, 3, 9, 11, 33, 99.

Only

n = 11, 33, 99

make

\dfrac{99}{n}

equal to

09, 03, 01,

which have two different digits. The requested sum is

11 + 33 + 99 = 143.

Thus, the correct answer is D.