2012 AMC 12B Problema 19

Question

Un cubo unitario tiene vértices

P_1,

P_2,

P_3,

P_4,

P_1',

P_2',

P_3',

y

P_4'.

Los vértices

P_2,

P_3,

y

P_4

son adyacentes a

P_1,

y para

1 \le i \le 4,

los vértices

P_i

y

P_i'

son opuestos entre sí. Un octaedro regular tiene un vértice en cada uno de los segmentos

P_1P_2,

P_1P_3,

P_1P_4,

P_1'P_2',

P_1'P_3',

y

P_1'P_4'.

¿Cuál es la longitud de lado del octaedro?

A unit cube has vertices

P_1,

P_2,

P_3,

P_4,

P_1',

P_2',

P_3',

and

P_4'.

Vertices

P_2,

P_3,

and

P_4

are adjacent to

P_1,

and for

1 \le i \le 4,

vertices

P_i

and

P_i'

are opposite to each other. A regular octahedron has one vertex in each of the segments

P_1P_2,

P_1P_3,

P_1P_4,

P_1'P_2',

P_1'P_3',

and

P_1'P_4'.

What is the octahedron’s side length?

\dfrac{3\sqrt{2}}{4}

\dfrac{7\sqrt{6}}{16}

\dfrac{\sqrt{5}}{2}

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

\dfrac{\sqrt{6}}{2}

Respuesta: A

Conceptos:geometría del cubo Teorema de Pitágoras simetría

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Por simetría, cada vértice del octaedro está a la misma distancia

t

de

P_1

(o

P_1'

) a lo largo de su arista

By symmetry each octahedron vertex is the same distance

t

from

P_1

(or

P_1'

) along its edge

Pista grande:

Iguala la distancia al cuadrado entre dos vértices que comparten

P_1

con la distancia al cuadrado que la cruza, y despeja

t

Set the squared distance between two vertices sharing

P_1

equal to the squared distance across, and solve for

t

Solución:

Coloca

P_1

en el origen con las aristas a lo largo de los ejes, y sea cada uno de los tres vértices del octaedro cercanos a

P_1

una distancia

t

de

P_1;

por simetría los tres cercanos a

P_1'

también están a una distancia

t

de

P_1'.

Dos vértices que comparten

P_1,

como

(t,0,0)

y

(0,t,0),

están a una distancia

t\sqrt2

. Un vértice cercano a

P_1,

digamos

(t,0,0),

y el vértice apropiado cercano a

P_1',

digamos

(1,1-t,1),

deben estar a la misma distancia.

Igualar las dos longitudes de lado al cuadrado y usar las aristas unitarias del cubo da

t=\tfrac34,

así que la longitud de lado es

t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place

P_1

at the origin with edges along the axes, and let each of the three octahedron vertices near

P_1

be a distance

t

from

P_1;

by symmetry the three near

P_1'

are also a distance

t

from

P_1'.

Two vertices sharing

P_1,

such as

(t,0,0)

and

(0,t,0),

are a distance

t\sqrt2

apart. A vertex near

P_1,

say

(t,0,0),

and the appropriate vertex near

P_1',

say

(1,1-t,1),

must be the same distance apart.

Setting the two squared side lengths equal and using the cube’s unit edges yields

t=\tfrac34,

so the side length is

t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}.

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12B Problema 19

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 19 en otros años