2012 AMC 12B Problema 16

Question

Amy, Beth y Jo escuchan cuatro canciones diferentes y comentan cuáles les gustan. Ninguna canción les gusta a las tres. Además, para cada uno de los tres pares de chicas, hay al menos una canción que les gusta a esas dos chicas pero no a la tercera. ¿De cuántas maneras diferentes es esto posible?

Amy, Beth, and Jo listen to four different songs and discuss which ones they like. No song is liked by all three. Furthermore, for each of the three pairs of the girls, there is at least one song liked by those two girls but disliked by the third. In how many different ways is this possible?

108

132

671

846

1105

Respuesta: B

Conceptos:análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Cada canción le gusta a uno de los pares

\{AB\},\{AC\},\{BC\},

a una sola chica, o a nadie; los tres pares deben aparecer

Each song is liked by one of the pairs

\{AB\},\{AC\},\{BC\},

by a single girl, or by no one; all three pairs must appear

Pista grande:

Divide en el caso donde las cuatro canciones van a pares y el caso donde exactamente tres canciones cubren los tres pares

Split into the case where all four songs go to pairs and the case where exactly three songs cover the three pairs

Solución:

Cada canción le gusta a exactamente uno de los tres pares, a una sola chica, o a nadie. Cada par debe estar representado.

Caso $1:$ cada canción le gusta a un par. Un par recibe dos de las cuatro canciones (

\binom42=6

maneras, y

3

opciones para cuál par), y los otros dos pares reciben una canción cada uno (

2

maneras). Esto da

3\cdot6\cdot2=36.

Caso $2:$ tres canciones van a los tres pares (una cada uno) y la cuarta canción le gusta a una sola chica o a nadie. Asignar las cuatro canciones a estos cuatro roles da

4!=24

maneras, y el rol sobrante tiene

4

opciones (Amy, Beth, Jo o nadie):

24\cdot4=96.

El total es

36+96=132.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each song is liked by exactly one of the three pairs, by a single girl, or by no one. Every pair must be represented.

Case $1:$ every song is liked by a pair. One pair gets two of the four songs (

\binom42=6

ways, and

3

choices for which pair), and the other two pairs get one song each (

2

ways). This gives

3\cdot6\cdot2=36.

Case $2:$ three songs go to the three pairs (one each) and the fourth song is liked by a single girl or no one. Assigning the four songs to these four roles gives

4!=24

ways, and the leftover role has

4

options (Amy, Beth, Jo, or no one):

24\cdot4=96.

The total is

36+96=132.

Thus, the correct answer is B.