2011 AMC 12B Problema 7

Question

Sean

x

y

y

enteros positivos de dos dígitos con media

60.

¿Cuál es el valor máximo de la razón

\dfrac{x}{y}

?

Let

x

and

y

be two-digit positive integers with mean

60.

What is the maximum value of the ratio

\dfrac{x}{y}?

3

\dfrac{33}{7}

\dfrac{39}{7}

9

\dfrac{99}{10}

Respuesta: B

Conceptos:optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

La condición de la media da

x+y=120

.

The mean condition gives

x+y=120

Pista grande:

Para maximizar

\dfrac{x}{y},

haz

x

tan grande y

y

tan pequeño como se permita.

To maximize

\dfrac{x}{y},

make

x

as large and

y

as small as allowed

Solución:

Como

\dfrac{x+y}{2}=60,

tenemos

x+y=120.

Para maximizar

\dfrac{x}{y}

hacemos

y

pequeño.

Como

x\le99,

se sigue que

y=120-x\ge21.

Tomando

x=99

y

y=21

se obtiene el máximo

\dfrac{99}{21}=\dfrac{33}{7}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

\dfrac{x+y}{2}=60,

we have

x+y=120.

To maximize

\dfrac{x}{y}

we make

y

small.

Because

x\le99,

it follows that

y=120-x\ge21.

Taking

x=99

and

y=21

gives the maximum

\dfrac{99}{21}=\dfrac{33}{7}.

Thus, the correct answer is B.