2011 AMC 12B Problema 16

Question

El rombo

ABCD

tiene lado

2

y

\angle B=120^\circ.

La región

R

consiste en todos los puntos dentro del rombo que están más cerca del vértice

B

que de cualquiera de los otros tres vértices. ¿Cuál es el área de

R

?

Rhombus

ABCD

has side length

2

and

\angle B=120^\circ.

Region

R

consists of all points inside the rhombus that are closer to vertex

B

than any of the other three vertices. What is the area of

R?

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}

2

Respuesta: C

Conceptos:mediatriz rombo área

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

La frontera de

R

está sobre las mediatrices de los lados que pasan por

B

.

The boundary of

R

lies along the perpendicular bisectors of the sides through

B

Pista grande:

R

es un pentágono formado por cuatro triángulos congruentes

30

-

60

-

90

, cada uno con un cateto de longitud

1

.

R

is a pentagon made of four congruent

30

-

60

-

90

triangles, each with a leg of length

1

Solución:

Sean

E

y

H

los puntos medios de

AB

y

BC.

La mediatriz de

AB

que pasa por

E

corta la diagonal

AC

en

F,

y la mediatriz de

BC

que pasa por

H

corta

AC

en

G.

La región

R

es el pentágono

BEFGH.

El triángulo

AFE

es un triángulo

30

-

60

-

90^\circ

con

AE=1,

así que su área es

\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}.

Los triángulos

BFE

y

BGH

son congruentes con él, y

\triangle FBG

es equilátero, y se divide en dos copias más.

Por lo tanto

R

consiste en cuatro triángulos congruentes, lo que da área

4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

E

and

H

be the midpoints of

AB

and

BC.

The perpendicular bisector of

AB

through

E

meets diagonal

AC

at

F,

and the perpendicular bisector of

BC

through

H

meets

AC

at

G.

The region

R

is the pentagon

BEFGH.

Triangle

AFE

is a

30

-

60

-

90^\circ

triangle with

AE=1,

so its area is

\dfrac12\cdot1\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{6}.

Triangles

BFE

and

BGH

are congruent to it, and

\triangle FBG

is equilateral, splitting into two more copies.

Hence

R

consists of four congruent triangles, giving area

4\cdot\dfrac{\sqrt3}{6}=\dfrac{2\sqrt3}{3}.

Thus, the correct answer is C.