2011 AMC 12B Problema 15

Question

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos son factores de

2^{24}-1

?

How many positive two-digit integers are factors of

2^{24}-1?

4

8

10

12

14

Aplica repetidamente la diferencia de cuadrados para factorizar

2^{24}-1

.

Repeatedly apply the difference of squares to factor

2^{24}-1

La descomposición en factores primos es

3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241;

enumera los productos de dos dígitos.

The prime factorization is

3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241;

list two-digit products

Factorizando,

\begin{aligned} 2^{24}-1 &=(2^{12}-1)(2^{12}+1) \\ &=(2^6-1)(2^6+1) \\ &\quad {}\cdot(2^4+1)(2^8-2^4+1), \end{aligned}

lo que es igual a

63\cdot65\cdot17\cdot241

=3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241.

Como

241

es un primo de tres dígitos, los factores de dos dígitos provienen de

3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17.

Son

\begin{gathered} 13,15,17,21,35,39,45,51, \\ 63,65,85,91, \end{gathered}

para un total de

12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring,

\begin{aligned} 2^{24}-1 &=(2^{12}-1)(2^{12}+1) \\ &=(2^6-1)(2^6+1) \\ &\quad {}\cdot(2^4+1)(2^8-2^4+1), \end{aligned}

which equals

63\cdot65\cdot17\cdot241

=3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17\cdot241.

Since

241

is a three-digit prime, the two-digit factors come from

3^2\cdot5\cdot7\cdot13\cdot17.

They are

\begin{gathered} 13,15,17,21,35,39,45,51, \\ 63,65,85,91, \end{gathered}

for a total of

12.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 15 en otros años