2010 AMC 12B Problema 8

Question

Cada escuela secundaria de la ciudad de Euclid envió un equipo de

3

estudiantes a un concurso de matemáticas. Cada participante en el concurso recibió una puntuación diferente. La puntuación de Andrea fue la mediana entre todos los estudiantes, y la suya fue la puntuación más alta de su equipo. Las compañeras de equipo de Andrea, Beth y Carla, quedaron en los puestos

37

y

64

, respectivamente. ¿Cuántas escuelas hay en la ciudad?

Every high school in the city of Euclid sent a team of

3

students to a math contest. Each participant in the contest received a different score. Andrea’s score was the median among all students, and hers was the highest score on her team. Andrea’s teammates Beth and Carla placed

37

th and

64

th, respectively. How many schools are in the city?

22

23

24

25

26

Respuesta: B

Conceptos:mediana (datos)paridad desigualdad

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Con

n

escuelas hay

3n

estudiantes, y la mediana se ubica en la posición

\dfrac{3n+1}{2}

With

n

schools there are

3n

students, and the median sits at position

\dfrac{3n+1}{2}

Pista grande:

3n\ge64,

y Andrea quedó por delante del puesto

37

de Beth, así que

\dfrac{3n+1}{2}\lt37

3n\ge64,

and Andrea placed ahead of Beth’s

37

th, so

\dfrac{3n+1}{2}\lt37

Solución:

Con

n

escuelas hay

3n

estudiantes. Carla quedó en el puesto

64

, así que

3n\ge64

y

n\ge22.

Las puntuaciones son distintas y Andrea es la mediana, así que

3n

es impar, lo que fuerza

n

impar y

n\ge23.

La posición de Andrea es

\dfrac{3n+1}{2},

y ella superó a Beth (puesto

37

), así que

\dfrac{3n+1}{2}\lt37,

lo que da

3n\lt73

y

n\le24.

El único valor impar es

n=23.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With

n

schools there are

3n

students. Carla placed

64

th, so

3n\ge64

and

n\ge22.

The scores are distinct and Andrea is the median, so

3n

is odd, forcing

n

odd and

n\ge23.

Andrea’s position is

\dfrac{3n+1}{2},

and she beat Beth (

37

th), so

\dfrac{3n+1}{2}\lt37,

giving

3n\lt73

and

n\le24.

The only odd value is

n=23.

Thus, the correct answer is B.