2010 AMC 12A Problema 22

Question

¿Cuál es el valor mínimo de

\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}

What is the minimum value of

\begin{gathered} f(x) = |x-1|+|2x-1| \\ {}+|3x-1|+\cdots+|119x-1|? \end{gathered}

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Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto optimización sumatoria

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

f

es lineal por tramos con esquinas en

x=\tfrac1k;

el mínimo está donde su pendiente pasa de negativa a positiva.

f

is piecewise linear with corners at

x=\tfrac1k;

the minimum is where its slope turns from negative to positive

Pista grande:

En

\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]

la pendiente es

7140-(m-1)m;

halla dónde se anula.

On

\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]

the slope is

7140-(m-1)m;

find where it vanishes

Solución:

La función

f

es lineal por tramos con puntos de quiebre en

x=\tfrac1k.

En el intervalo

\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]

su pendiente es

\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned}

donde

7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.

Esta pendiente es cero cuando

(m-1)m=7140,

es decir

m=85,

así que el mínimo ocurre en el extremo derecho

x=\tfrac1{84}.

Ahí, los términos con

k\le84

contribuyen

\tfrac{84-k}{84}

y los términos con

k\ge85

contribuyen

\tfrac{k-84}{84},

así que

\begin{aligned} f\left(\tfrac1{84}\right) &= \frac{3486}{84}+\frac{630}{84} \\ &= 41.5+7.5=49. \end{aligned}

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The function

f

is piecewise linear with breakpoints at

x=\tfrac1k.

On the interval

\left[\tfrac1m,\tfrac1{m-1}\right]

its slope is

\begin{aligned} &\sum_{k=m}^{119}k \\ &\quad {}-\sum_{k=1}^{m-1}k=7140-(m-1)m, \end{aligned}

where

7140=\tfrac{119\cdot120}{2}.

This slope is zero when

(m-1)m=7140,

i.e.

m=85,

so the minimum occurs at the right endpoint

x=\tfrac1{84}.

There, terms with

k\le84

contribute

\tfrac{84-k}{84}

and terms with

k\ge85