2010 AMC 12A Problema 19

Question

Cada una de

2010

cajas en fila contiene una única canica roja, y para

1 \le k \le 2010,

la caja en la posición

k

contiene además

k

canicas blancas. Isabella comienza en la primera caja y extrae sucesivamente una única canica al azar de cada caja, en orden. Se detiene cuando extrae por primera vez una canica roja. Sea

P(n)

la probabilidad de que Isabella se detenga después de extraer exactamente

n

canicas. ¿Cuál es el menor valor de

n

para el cual

P(n) \lt \dfrac{1}{2010}

?

Each of

2010

boxes in a line contains a single red marble, and for

1 \le k \le 2010,

the box in the

k

th position also contains

k

white marbles. Isabella begins at the first box and successively draws a single marble at random from each box, in order. She stops when she first draws a red marble. Let

P(n)

be the probability that Isabella stops after drawing exactly

n

marbles. What is the smallest value of

n

for which

P(n) \lt \dfrac{1}{2010}?

45

63

64

201

1005

Respuesta: A

Conceptos:telescópica probabilidad básica desigualdad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Las primeras

n-1

extracciones deben ser blancas, y luego la extracción

n

roja.

The first

n-1

draws must be white, then the

n

th draw red

Pista grande:

Las probabilidades de blanco se telescopan:

\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}

.

The white probabilities telescope:

\dfrac12\cdot\dfrac23\cdots\dfrac{n-1}{n}

Solución:

Como hay

k + 1

canicas en la caja

k

, Isabella tiene probabilidad

\dfrac{k}{k + 1}

de extraer una canica blanca.

La probabilidad de extraer una roja es

\dfrac{1}{k + 1}.

Para detenerse después de la canica

n

, las primeras

n - 1

deben haber sido blancas.

Esto ocurre con probabilidad

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.

Todos los numeradores se cancelan con el denominador adyacente, por lo que la expresión se reduce a

\dfrac{1}{n(n + 1)}.

Debemos hallar el menor

n

tal que

\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}

n(n + 1) \gt 2010.

Como

44\cdot45=1980\lt2010

, pero

45\cdot46=2070\gt2010,

el menor

n

es

45.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since there are

k + 1

marbles in the

k

th box, there is a

\dfrac{k}{k + 1}

chance Isabella draws a white marble from it.

The probability of drawing a red marble is then

\dfrac{1}{k + 1}.

To stop after drawing the

n

th marble, the first

n - 1

marbles must have been white.

This happens with a probability of

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \ldots \cdot \dfrac{n - 1}{n} \cdot \dfrac{1}{n + 1}.

Note that all the numerators cancel with the adjacent denominator, which means that this expression reduces to

\dfrac{1}{n(n + 1)}.

We have to find the smallest

n

such that

\dfrac{1}{n(n + 1)} \lt \dfrac{1}{2010}

n(n + 1) \gt 2010.

Since

44\cdot45=1980\lt2010

but

45\cdot46=2070\gt2010,

the smallest such

n

is

45.

Thus, A is the correct answer.