2009 AMC 12B Problema 19

Question

Para cada entero positivo

n,

sea

f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.

¿Cuál es la suma de todos los valores de

f(n)

que son números primos?

For each positive integer

n,

let

f(n) = n^4 - 360n^2 + 400.

What is the sum of all values of

f(n)

that are prime numbers?

794

796

798

800

802

Respuesta: E

Conceptos:diferencia de cuadrados factorización primo

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Reescríbelo como una diferencia de cuadrados:

n^4 - 360n^2 + 400

= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2

.

Rewrite as a difference of squares:

n^4 - 360n^2 + 400

= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2

Pista grande:

Factorízalo; para que el producto sea primo, el factor menor debe ser igual a

1

.

Factor it; for the product to be prime, the smaller factor must equal

1

Solución:

Escribe

\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}

Para que

f(n)

sea primo, el factor menor debe ser

1

: al resolver

n^2 - 20n + 20 = 1

se obtiene

(n - 1)(n - 19) = 0,

así que

n = 1

o

n = 19.

Entonces

f(1) = 41

y

f(19) = 761

son ambos primos, y suman

802.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write

\begin{aligned} f(n) &= n^4 + 40n^2 + 400 - 400n^2 \\ &= (n^2 + 20)^2 - (20n)^2 \\ &= (n^2 + 20n + 20) \\ &\quad {}\cdot (n^2 - 20n + 20). \end{aligned}

For

f(n)

to be prime the smaller factor must be

1

: solving

n^2 - 20n + 20 = 1

gives

(n - 1)(n - 19) = 0,

so

n = 1

or

n = 19.

Then

f(1) = 41

and

f(19) = 761

are both prime, summing to

802.

Thus, the correct answer is E.