2009 AMC 12A Problema 19

Question

Andrea inscribió un círculo dentro de un pentágono regular, circunscribió un círculo alrededor del pentágono, y calculó el área de la región entre los dos círculos. Bethany hizo lo mismo con un heptágono regular (

7

lados). Las áreas de las dos regiones fueron

A

y

B,

respectivamente. Cada polígono tenía longitud de lado

2.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Andrea inscribed a circle inside a regular pentagon, circumscribed a circle around the pentagon, and calculated the area of the region between the two circles. Bethany did the same with a regular heptagon (

7

sides). The areas of the two regions were

A

and

B,

respectively. Each polygon had a side length of

2.

Which of the following is true?

A = \dfrac{25}{49}B

A = \dfrac{5}{7}B

A = B

A = \dfrac{7}{5}B

A = \dfrac{49}{25}B

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular Teorema de Pitágoras área del círculo

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Para un polígono regular de lado

2,

sean

r

y

R

el inradio y el circunradio, y observa el centro, el punto medio de un lado y su extremo.

For a regular polygon with side

2,

let

r

and

R

be the inradius and circumradius, and look at the center, a side’s midpoint, and its endpoint

Pista grande:

Ese triángulo rectángulo tiene catetos

r

y

1

e hipotenusa

R,

así que

R^2 - r^2 = 1

sin importar el número de lados.

That right triangle has legs

r

and

1

and hypotenuse

R,

so

R^2 - r^2 = 1

regardless of the number of sides

Solución:

Para un polígono regular de lado

2,

sea

O

el centro,

M

el punto medio de un lado, y

N

un extremo de ese lado. Entonces

\triangle OMN

tiene un ángulo recto en

M,

con

MN = 1,

OM = r

(inradio), y

ON = R

(circunradio).

Así que

R^2 - r^2 = 1,

y el área entre los círculos es

\pi(R^2 - r^2) = \pi

para cualquier número de lados. Por lo tanto

A = B.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For a regular polygon with side length

2,

let

O

be the center,

M

the midpoint of a side, and

N

an endpoint of that side. Then

\triangle OMN

has a right angle at

M,

with

MN = 1,

OM = r

(inradius), and

ON = R

(circumradius).

So

R^2 - r^2 = 1,

and the area between the circles is

\pi(R^2 - r^2) = \pi

for any number of sides. Hence

A = B.

Thus, the correct answer is C.