2008 AMC 12B Problema 24

Question

Sea

A_0 = (0, 0).

Puntos distintos

A_1,

A_2,

\ldots

están en el eje

x

, y puntos distintos

B_1,

B_2,

\ldots

están en la gráfica de

y = \sqrt{x}.

Para todo entero positivo

n,

A_{n-1}B_nA_n

es un triángulo equilátero. ¿Cuál es el menor

n

para el cual la longitud

A_0A_n \ge 100

?

Let

A_0 = (0, 0).

Distinct points

A_1,

A_2,

\ldots

lie on the

x

-axis, and distinct points

B_1,

B_2,

\ldots

lie on the graph of

y = \sqrt{x}.

For every positive integer

n,

A_{n-1}B_nA_n

is an equilateral triangle. What is the least

n

for which the length

A_0A_n \ge 100?

13

15

17

19

21

Respuesta: C

Conceptos:recursión triángulo equilátero sumatoria

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Si

c_n = A_{n-1}A_n,

el ápice

B_n

está a una altura

\tfrac{\sqrt3}{2}c_n

sobre el punto medio; al estar en

y = \sqrt{x}

se obtiene

\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}

.

If

c_n = A_{n-1}A_n,

the apex

B_n

sits at height

\tfrac{\sqrt3}{2}c_n

above the midpoint; lying on

y = \sqrt{x}

gives

\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}

Pista grande:

Restar relaciones consecutivas da

c_n = c_{n-1} + \tfrac23,

así que

c_n = \tfrac{2n}{3}

y

A_0A_n = \tfrac{n(n+1)}{3}

.

Subtracting consecutive relations yields

c_n = c_{n-1} + \tfrac23,

so

c_n = \tfrac{2n}{3}

and

A_0A_n = \tfrac{n(n+1)}{3}

Solución:

Sea

a_n = A_0A_n

y

c_n = a_n - a_{n-1}

la base del

n

-ésimo triángulo equilátero. Su ápice

B_n

está sobre el punto medio a una altura

\tfrac{\sqrt3}{2}c_n,

y al estar en

y = \sqrt{x}

se obtiene

\left(\tfrac{\sqrt3}{2}c_n\right)^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2},

es decir

\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}.

Escribir la misma relación para el triángulo anterior y restar da

c_n = c_{n-1} + \tfrac23,

y con

c_1 = \tfrac23

obtenemos

c_n = \tfrac{2n}{3}.

Sumando,

a_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k}{3} = \frac{n(n + 1)}{3}.

Necesitamos

\tfrac{n(n + 1)}{3} \ge 100,

es decir

n(n + 1) \ge 300.

Como

16 \cdot 17 = 272

y

17 \cdot 18 = 306,

el menor

n

es

17.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

a_n = A_0A_n

and

c_n = a_n - a_{n-1}

be the base of the

n

th equilateral triangle. Its apex

B_n

lies above the midpoint at height

\tfrac{\sqrt3}{2}c_n,

and being on

y = \sqrt{x}

gives

\left(\tfrac{\sqrt3}{2}c_n\right)^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2},

i.e.

\tfrac34 c_n^2 = a_{n-1} + \tfrac{c_n}{2}.

Writing the same relation for the previous triangle and subtracting gives

c_n = c_{n-1} + \tfrac23,

and with

c_1 = \tfrac23

we get

c_n = \tfrac{2n}{3}.

Summing,

a_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k}{3} = \frac{n(n + 1)}{3}.

We need

\tfrac{n(n + 1)}{3} \ge 100,

i.e.

n(n + 1) \ge 300.

Since

16 \cdot 17 = 272

and

17 \cdot 18 = 306,

the least such

n

is

17.

Thus, the correct answer is C.