2008 AMC 12A Problema 19

Question

En el desarrollo de

\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}

¿cuál es el coeficiente de

x^{28}

?

In the expansion of

\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}

what is the coefficient of

x^{28}?

195

196

224

378

405

Respuesta: C

Conceptos:funciones generatrices particiones y composiciones

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Un término tiene la forma

x^{a+b+c}

con

0 \le a \le 27

y

0 \le b, c \le 14

.

A term has the form

x^{a+b+c}

with

0 \le a \le 27

and

0 \le b, c \le 14

Pista grande:

Para cada uno de los

15^2

pares

(b, c),

hay un único valor válido

a,

excepto cuando

b = c = 0

.

For each of the

15^2

pairs

(b, c),

there is a unique valid

a,

except when

b = c = 0

Solución:

Cada término es

x^{a + b + c}

con

0 \le a \le 27

y

0 \le b, c \le 14.

Para obtener

x^{28}

necesitamos

a = 28 - b - c.

Hay

(14 + 1)^2 = 225

opciones para

(b, c).

Para cada opción salvo

(b, c) = (0, 0),

el valor requerido

a = 28 - b - c

está en

[0, 27],

dando un término válido.

El coeficiente de

x^{28}

es por lo tanto

225 - 1 = 224.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Each term is

x^{a + b + c}

with

0 \le a \le 27

and

0 \le b, c \le 14.

To get

x^{28}

we need

a = 28 - b - c.

There are

(14 + 1)^2 = 225

choices for

(b, c).

For every choice except

(b, c) = (0, 0),

the required

a = 28 - b - c

lies in

[0, 27],

giving a valid term.

The coefficient of

x^{28}

is therefore

225 - 1 = 224.

Thus, C is the correct answer.