2008 AMC 12A Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2008 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

Sea

a_1,

a_2,

\ldots

una sucesión de enteros determinada por la regla

a_n = \frac{a_{n-1}}{2}

si

a_{n-1}

es par y

a_n = 3a_{n-1} + 1

si

a_{n-1}

es impar. ¿Para cuántos enteros positivos

a_1 \le 2008

es cierto que

a_1

es menor que cada uno de

a_2,

a_3,

y

a_4

?

Let

a_1,

a_2,

\ldots

be a sequence of integers determined by the rule

a_n = \frac{a_{n-1}}{2}

if

a_{n-1}

is even and

a_n = 3a_{n-1} + 1

if

a_{n-1}

is odd. For how many positive integers

a_1 \le 2008

is it true that

a_1

is less than each of

a_2,

a_3,

and

a_4?

250

251

501

502

1004

Respuesta: D

Conceptos:recursión aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Si

a_1

es par entonces

a_2 \lt a_1,

así que

a_1

debe ser impar.

If

a_1

is even then

a_2 \lt a_1,

so

a_1

must be odd

Pista grande:

Divide el caso impar según si

a_1 \equiv 1

o

a_1 \equiv 3 \pmod 4

.

Split the odd case according to whether

a_1 \equiv 1

or

a_1 \equiv 3 \pmod 4

Solución:

Si

a_1

es par, entonces

a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,

así que la condición falla.

Si

a_1 \equiv 1 \pmod 4,

entonces

a_2 = 3a_1 + 1

es un múltiplo de

4,

así que

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}

y

a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,

y de nuevo la condición falla.

Si

a_1 \equiv 3 \pmod 4,

entonces

a_2

es par pero no un múltiplo de

4,

así que

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,

y

a_3

es impar, lo que da

a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.

La condición se cumple.

Exactamente

\tfrac{2008}{4} = 502

valores de

a_1 \le 2008

satisfacen

a_1 \equiv 3 \pmod 4.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

If

a_1

is even, then

a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,

so the condition fails.

If

a_1 \equiv 1 \pmod 4,

then

a_2 = 3a_1 + 1

is a multiple of

4,

so

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}

and

a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,

and again the condition fails.

If

a_1 \equiv 3 \pmod 4,

then

a_2

is even but not a multiple of

4,

so

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,

and

a_3

is odd, giving

a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.

The condition holds.

Exactly

\tfrac{2008}{4} = 502

values of

a_1 \le 2008

satisfy

a_1 \equiv 3 \pmod 4.

Thus, D is the correct answer.

El Problema 17 en otros años