2007 AMC 12B Problema 24

Question

¿Cuántos pares de enteros positivos

(a,b)

hay tales que

\gcd(a,b)=1

y

\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}

es un entero?

How many pairs of positive integers

(a,b)

are there such that

\gcd(a,b)=1

and

\dfrac{a}{b}+\dfrac{14b}{9a}

is an integer?

4

6

9

12

infinitos

infinitely many

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad máximo común divisor análisis por casos

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Al despejar

b

se ve que

\dfrac{14b^2}{9a}

es un entero, y como

\gcd(a,b)=1,

14

es divisible por

a

.

Clearing

b

shows

\dfrac{14b^2}{9a}

is an integer, and since

\gcd(a,b)=1,

14

is divisible by

a

Pista grande:

De manera similar

9

es divisible por

b,

así que

a\in\{1,2,7,14\}

y

b\in\{1,3,9\};

prueba los pares coprimos.

Similarly

9

is divisible by

b,

so

a\in\{1,2,7,14\}

and

b\in\{1,3,9\};

test the coprime pairs

Solución:

Sea

k

el valor entero de la expresión original. Multiplicando por

b

y restando

a

se obtiene

\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a,

un entero. Como

\gcd(a,b)=1,

se sigue que

14

es divisible por

a.

Multiplicando en cambio por

9a

y restando

14b

se obtiene

\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b,

así que

9

es divisible por

b.

Por tanto

a\in\{1,2,7,14\}

y

b\in\{1,3,9\}.

Comprobando los candidatos coprimos, la expresión es un entero solo para

(a,b)=(1,3),

(2,3),

(7,3),

(14,3).

Así que hay

4

tales pares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

k

be the integer value of the original expression. Multiplying by

b

and subtracting

a

gives

\dfrac{14b^2}{9a}=bk-a,

an integer. Since

\gcd(a,b)=1,

it follows that

14

is divisible by

a.

Multiplying instead by

9a

and subtracting

14b

gives

\dfrac{9a^2}{b}=9ak-14b,

so

9

is divisible by

b.

Thus

a\in\{1,2,7,14\}

and

b\in\{1,3,9\}.

Checking the coprime candidates, the expression is an integer only for

(a,b)=(1,3),

(2,3),

(7,3),

(14,3).

So there are

4

such pairs.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B Problema 24

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años