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2007 AMC 12B Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2007 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Dos partículas se mueven a lo largo de las aristas del △ABC\triangle ABC equilátero en la dirección partiendo simultáneamente y moviéndose a la misma velocidad. Una parte de A,A, y la otra parte del punto medio de BC‾.\overline{BC}. El punto medio del segmento que une las dos partículas traza una trayectoria que encierra una región R.R. ¿Cuál es la razón entre el área de RR y el área del △ABC\triangle ABC? A→B→C→A,A\to B\to C\to A,

Two particles move along the edges of equilateral △ABC\triangle ABC in the direction A→B→C→A,A\to B\to C\to A, starting simultaneously and moving at the same speed. One starts at A,A, and the other starts at the midpoint of BC‾.\overline{BC}. The midpoint of the line segment joining the two particles traces out a path that encloses a region R.R. What is the ratio of the area of RR to the area of △ABC?\triangle ABC?

116\dfrac{1}{16}

112\dfrac{1}{12}

19\dfrac{1}{9}

16\dfrac{1}{6}

14\dfrac{1}{4}

Respuesta: A
Conceptos:semejanzarazón de áreasbaricentro
Nivel de dificultad: 2220
Solución:

Sean D,E,FD,E,F los puntos medios de BC,CA,AB,BC,CA,AB, respectivamente, y sean X,Y,ZX,Y,Z los puntos medios de AD,BE,CF,AD,BE,CF, respectivamente. Sigamos un tercer punto a mitad de camino entre las dos partículas. Está en XX cuando las partículas están en A,D;A,D; en ZZ cuando están en F,C;F,C; y en YY cuando están en B,E.B,E.

Entre esos instantes, ambas posiciones varían linealmente, así que su punto medio traza los segmentos XZ,ZY,YX.XZ,ZY,YX. La trayectoria encerrada es el triángulo equilátero XYZ,XYZ, que por simetría comparte el centro OO de △ABC.\triangle ABC. Como ZZ es el punto medio de la mediana CF,CF, OZ=OC−ZC=23CF−12CF=16CF, \begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned} mientras que OC=23CF.OC=\dfrac23 CF.

La razón de circunradios es OZOC=14,\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14, y la razón de áreas es (14)2=116.\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let D,E,FD,E,F be the midpoints of BC,CA,AB,BC,CA,AB, respectively, and let X,Y,ZX,Y,Z be the midpoints of AD,BE,CF,AD,BE,CF, respectively. Track a third point halfway between the two particles. It is at XX when the particles are at A,D;A,D; at ZZ when they are at F,C;F,C; and at YY when they are at B,E.B,E.

Between these instants both particle positions vary linearly, so their midpoint traces the segments XZ,ZY,YX.XZ,ZY,YX. Thus the enclosed path is the equilateral triangle XYZ,XYZ, which by symmetry shares the center OO of △ABC.\triangle ABC. Because ZZ is the midpoint of the median CF,CF, OZ=OC−ZC=23CF−12CF=16CF, \begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned} while OC=23CF.OC=\dfrac23 CF.

So the ratio of circumradii is OZOC=14,\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14, and the area ratio is (14)2=116.\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.

Thus, the correct answer is A.

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