2007 AMC 12B Problema 22

Question

Dos partículas se mueven a lo largo de las aristas del

\triangle ABC

equilátero en la dirección

A\to B\to C\to A,

partiendo simultáneamente y moviéndose a la misma velocidad. Una parte de

A,

y la otra parte del punto medio de

\overline{BC}.

El punto medio del segmento que une las dos partículas traza una trayectoria que encierra una región

R.

¿Cuál es la razón entre el área de

R

y el área del

\triangle ABC

?

Two particles move along the edges of equilateral

\triangle ABC

in the direction

A\to B\to C\to A,

starting simultaneously and moving at the same speed. One starts at

A,

and the other starts at the midpoint of

\overline{BC}.

The midpoint of the line segment joining the two particles traces out a path that encloses a region

R.

What is the ratio of the area of

R

to the area of

\triangle ABC?

\dfrac{1}{16}

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{9}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

Respuesta: A

Conceptos:semejanza razón de áreas baricentro

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Como ambas partículas se mueven linealmente, el punto medio también se mueve linealmente entre los instantes clave; llama

XYZ

al triángulo trazado

Because both particles move linearly, the midpoint also moves linearly between key instants; call the traced triangle

XYZ

Pista grande:

Ese triángulo está centrado en el centroide

O;

compara su circunradio

OZ

con

OC

.

That triangle is centered at the centroid

O;

compare its circumradius

OZ

to

OC

Solución:

Sean

D,E,F

los puntos medios de

BC,CA,AB,

respectivamente, y sean

X,Y,Z

los puntos medios de

AD,BE,CF,

respectivamente. Sigamos un tercer punto a mitad de camino entre las dos partículas. Está en

X

cuando las partículas están en

A,D;

en

Z

cuando están en

F,C;

y en

Y

cuando están en

B,E.

Entre esos instantes, ambas posiciones varían linealmente, así que su punto medio traza los segmentos

XZ,ZY,YX.

La trayectoria encerrada es el triángulo equilátero

XYZ,

que por simetría comparte el centro

O

de

\triangle ABC.

Como

Z

es el punto medio de la mediana

CF,

\begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned}

mientras que

OC=\dfrac23 CF.

La razón de circunradios es

\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14,

y la razón de áreas es

\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

D,E,F

be the midpoints of

BC,CA,AB,

respectively, and let

X,Y,Z

be the midpoints of

AD,BE,CF,

respectively. Track a third point halfway between the two particles. It is at

X

when the particles are at

A,D;

at

Z

when they are at

F,C;

and at

Y

when they are at

B,E.

Between these instants both particle positions vary linearly, so their midpoint traces the segments

XZ,ZY,YX.

Thus the enclosed path is the equilateral triangle

XYZ,

which by symmetry shares the center

O

of

\triangle ABC.

Because

Z

is the midpoint of the median

CF,

\begin{aligned} OZ&=OC-ZC \\ &=\dfrac23 CF-\dfrac12 CF \\ &=\dfrac16 CF, \end{aligned}

while

OC=\dfrac23 CF.

So the ratio of circumradii is

\dfrac{OZ}{OC}=\dfrac14,

and the area ratio is

\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac{1}{16}.

Thus, the correct answer is A.