2007 AMC 12A Problema 7

Question

Sean

a,

b,

c,

d,

y

e

cinco términos consecutivos de una progresión aritmética, y supongamos que

a+b+c+d+e=30.

¿Cuál de las siguientes se puede determinar?

Let

a,

b,

c,

d,

and

e

be five consecutive terms in an arithmetic sequence, and suppose that

a+b+c+d+e=30.

Which of the following can be found?

a

b

c

d

e

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Escribe los cinco términos como

c-2D,\ c-D,\ c,

\ c+D,\ c+2D

para una diferencia común

D

.

Write the five terms as

c-2D,\ c-D,\ c,

\ c+D,\ c+2D

for a common difference

D

Pista grande:

La suma se reduce a

5c,

mientras que los términos externos siguen dependiendo de la incógnita

D

.

The sum collapses to

5c,

while the outer terms still depend on the unknown

D

Solución:

Sea

D

la diferencia común. Entonces

a=c-2D,

b=c-D,

d=c+D,

y

e=c+2D,

así que

a+b+c+d+e=5c.

Así que

5c=30,

lo que da

c=6.

Los demás términos no pueden determinarse: las sucesiones

4,5,6,7,8

y

10,8,6,4,2

satisfacen ambas las condiciones pero difieren en todos los términos salvo el del medio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

D

be the common difference. Then

a=c-2D,

b=c-D,

d=c+D,

and

e=c+2D,

so

a+b+c+d+e=5c.

Thus

5c=30,

giving

c=6.

The other terms cannot be determined: the sequences

4,5,6,7,8

and

10,8,6,4,2

both satisfy the conditions but differ in every term except the middle one.

Thus, the correct answer is C.