2007 AMC 12A Problema 22

Intenta el Problema 22 del 2007 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

22.

Para cada entero positivo

n,

sea

S(n)

la suma de las cifras de

n.

¿Para cuántos valores de

n

se cumple

n+S(n)+S(S(n))=2007

?

For each positive integer

n,

let

S(n)

denote the sum of the digits of

n.

For how many values of

n

is

n+S(n)+S(S(n))=2007?

1

2

3

4

5

Respuesta: D

Conceptos:dígitos aritmética modular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Los tres,

n,

S(n),

y

S(S(n))

dejan el mismo residuo módulo

9

.

All three of

n,

S(n),

and

S(S(n))

leave the same remainder modulo

9

Pista grande:

Como

2007

es múltiplo de

9,

cada uno es múltiplo de

3

; además

n\ge 2007-28-10

.

Since

2007

is a multiple of

9,

each is a multiple of

3

; also

n\ge 2007-28-10

Solución:

Para

n\le 2007,

S(n)\le S(1999)=28,

y luego

S(S(n))\le S(28)=10.

Así que cualquier solución cumple

n\ge 2007-28-10=1969.

Además

n,

S(n),

y

S(S(n))

son congruentes módulo

9,

y

2007

es múltiplo de

9,

así que los tres deben ser múltiplos de

3.

Revisando los múltiplos de

3

entre

1969

y

2007

(muchos se eliminan porque

n+S(n)

ya supera

2007

) quedan

1977,1980,1983,

y

2001.

Eso da

4

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For

n\le 2007,

S(n)\le S(1999)=28,

and then

S(S(n))\le S(28)=10.

So any solution has

n\ge 2007-28-10=1969.

Also

n,

S(n),

and

S(S(n))

are congruent modulo

9,

and

2007

is a multiple of

9,

so all three must be multiples of

3.

Checking the multiples of

3

between

1969

and

2007

(many are eliminated because

n+S(n)

already exceeds

2007

) leaves

1977,1980,1983,

and

2001.

That is

4

values.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 22 en otros años