2007 AMC 12A Problema 19

Question

Los triángulos

ABC

y

ADE

tienen áreas

2007

y

7002,

respectivamente, con

B=(0,0),

C=(223,0),

D=(680,380),

y

E=(689,389).

¿Cuál es la suma de todas las posibles coordenadas

x

de

A

?

Triangles

ABC

and

ADE

have areas

2007

and

7002,

respectively, with

B=(0,0),

C=(223,0),

D=(680,380),

and

E=(689,389).

What is the sum of all possible

x

-coordinates of

A?

282

300

600

900

1200

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

El área del

\triangle ABC

fija la altura desde

A

hasta

BC,

así que

A

está sobre

y=18

o

y=-18

.

The area of

\triangle ABC

fixes the altitude from

A

to

BC,

so

A

lies on

y=18

or

y=-18

Pista grande:

Del mismo modo,

A

está sobre una de dos rectas paralelas a

DE

; los cuatro puntos de intersección promedian el centro de un paralelogramo.

Likewise

A

lies on one of two lines parallel to

DE

; the four intersection points average to the center of a parallelogram

Solución:

La altura

h

desde

A

en el

\triangle ABC

satisface

2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h,

así que

h=18.

Por lo tanto

A

está sobre

y=18

o

y=-18.

La recta

DE

tiene ecuación

x-y-300=0.

La condición sobre el

\triangle ADE

coloca de forma análoga a

A

sobre una de dos rectas paralelas a

DE.

Las cuatro posibles posiciones de

A

son los vértices de un paralelogramo cuyo centro es la intersección de

y=0

con la recta

DE,

a saber

(300,0).

Por lo tanto, la suma de las cuatro coordenadas

x

es

4\cdot 300=1200.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The altitude

h

from

A

in

\triangle ABC

satisfies

2007=\tfrac12\cdot 223\cdot h,

so

h=18.

Thus

A

lies on

y=18

or

y=-18.

Line

DE

has equation

x-y-300=0.

The condition on

\triangle ADE

similarly places

A

on one of two lines parallel to

DE.

The four possible positions of

A

are the vertices of a parallelogram whose center is the intersection of

y=0

with line

DE,

namely

(300,0).

Hence the sum of the four

x

-coordinates is

4\cdot 300=1200.

Thus, the correct answer is E.