2007 AMC 12A Problema 16

Question

¿Cuántos números de tres dígitos están compuestos por tres dígitos distintos tales que uno de los dígitos es el promedio de los otros dos?

How many three-digit numbers are composed of three distinct digits such that one digit is the average of the other two?

96

104

112

120

256

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Los tres dígitos deben formar una progresión aritmética en algún orden.

The three digits must form an arithmetic progression in some order

Pista grande:

Cuenta las progresiones por diferencia común, luego ordena cada conjunto, dando menos ordenamientos para los conjuntos que contienen

0

.

Count the progressions by common difference, then arrange each set, giving fewer arrangements for sets containing

0

Solución:

Los tres dígitos distintos forman una progresión aritmética creciente. Contando por diferencia común:

8

con diferencia

1,

6

con diferencia

2,

4

con diferencia

3,

y

2

con diferencia

4,

para

20

conjuntos.

De estos,

4

conjuntos contienen

0

(a saber

\{0,1,2\},

\{0,2,4\},

\{0,3,6\},

\{0,4,8\}

); cada uno produce

2\cdot 2!=4

números válidos, ya que

0

no puede ir al inicio.

Los otros

16

conjuntos producen cada uno

3!=6

números. El total es

4\cdot 4+16\cdot 6=112.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The three distinct digits form an increasing arithmetic progression. Counting by common difference:

8

with difference

1,

6

with difference

2,

4

with difference

3,

and

2

with difference

4,

for

20

sets.

Of these,

4

sets contain

0

(namely

\{0,1,2\},

\{0,2,4\},

\{0,3,6\},

\{0,4,8\}

); each yields

2\cdot 2!=4

valid numbers since

0

cannot lead.

The other

16

sets each yield

3!=6

numbers. The total is

4\cdot 4+16\cdot 6=112.

Thus, the correct answer is C.

2007 AMC 12A Problema 16

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años