2006 AMC 12A Problema 10

Question

¿Para cuántos valores reales de

x

es

\sqrt{120 - \sqrt{x}}

un entero?

For how many real values of

x

is

\sqrt{120 - \sqrt{x}}

an integer?

3

6

9

10

11

Respuesta: E

Conceptos:radical conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Haz

\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k

para un entero no negativo

k

.

Set

\sqrt{120 - \sqrt{x}} = k

for a nonnegative integer

k

Pista grande:

Se necesita

k^2 \le 120,

y cada

k

válido da un

x = (120 - k^2)^2

distinto.

Need

k^2 \le 120,

and each valid

k

gives a distinct

x = (120 - k^2)^2

Solución:

Sea

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}

un entero. Entonces

k \ge 0

y

k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,

así que

0 \le k \le 10.

Cada uno de estos

k

da

\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,

y por ende un valor distinto

x = (120 - k^2)^2.

Eso da

11

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}

be an integer. Then

k \ge 0

and

k^2 = 120 - \sqrt{x} \le 120,

so

0 \le k \le 10.

Each such

k

gives

\sqrt{x} = 120 - k^2 \ge 0,

hence a distinct value

x = (120 - k^2)^2.

That is

11

values.

Thus, the correct answer is E.